15. Предел функции на бесконечности.
Определение.
Число
называется пределом функции
при
,
если для любой бесконечно большой
последовательности
значений
аргумента соответствующая последовательность
,…,
,
значений функции сходится к числу
.
Определение.
Число
называется
пределом функции
при
(
),
если для любой бесконечно большой
последовательности
значений
аргумента, элементы
которой положительны (отрицательны),
соответствующая последовательность
,…,
,…
значений функции сходится к
.
(
)
16. Теорема о пределах функции.
Теорема.
Пусть функции
и
имеют в точке
пределы
и
.
Тогда функции
,
и
(при
)
имеют в точке
равные
соответственно
,
и
.
Следствие.
Постоянный множитель можно выносить
за знак предела, т.е.
.
Теорема.
Пусть функции
,
и
определены в некоторой окрестности
точки
,
за исключением, быть может, самой точки
,
и функций
и
имеют в точке
предел,
равный
,
т.е
.
Пусть, кроме того, выполняется неравенство
,
тогда
.
Замечание.
Теорема о сумме, разности, произведения
и частном функций справедлива при
.
Пример.
а)
б)
в)
17. Два замечательных предела.
Теорема.
Предел функции
в точке
существует и равен 1.
Замечание.
- первый замечательный предел.
Пример.
Теорема.
Предел функции при
существует и равен
.
Замечание.
- второй замечательный предел.
Пример.
18. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
Определение.
Функция
называется
бесконечно малой функцией в точке
,
если ее предел в этой точке равен 0:
.
Замечание.
Аналогично определяются бесконечно
малые функции при
Теорема.
Алгебраическая сумма и произведение
конечного числа бесконечно малых функций
при
,
а также произведение бесконечно малой
функции на ограниченную функцию являются
бесконечно малыми функциями при
.
Определение.
Функция
называется
бесконечно большой в точке
,
если для любой сходящейся к
последовательности
значений аргумента соответствующая
последовательность
значений функции является бесконечно
большой.
Замечание. Аналогично определяется бесконечно большие функции при
19. Вычисление пределов функции.
Говорят,
что отношение двух функций есть
неопределенность вида
или
,
если числитель и знаменатель дроби
одновременно стремится к 0 или
при
.
В этих случаях о пределе отношения
ничего определенного сказать нельзя.
Раскрыть эти неопределенности – значит
вычислить предел отношения
,
если он существует, или установить, что
он не существует.
Пример.
При
вычислении пределов отношения двух
многочленов при
или
для раскрытия неопределенности вида
числитель и знаменатель дроби надо
делить на
в
старшей степени; величина дроби от этого
не уменьшится. При этом, если в числителе
и знаменателе многочлены одной степени,
предел равен отношению коэффициентов
при старших степенях; если степень
числителя больше степени знаменателя,
то предел равен
;
если степень числителя меньше степени
знаменателя, то предел равен
.
Пример.
а)
.
б)
.
в)
.