13. Построение графиков функций.

Правило 1. Чтобы получить график функции y=f(x-a) из графика функции y=f(x), нужно график функции y=f(x) сдвинуть вдоль оси Ox на a вправо, если a>0, или на |a| влево, если a<0.

Правило 2. Чтобы получить график функции y=f(x)+c из графика функции y=f(x), нужно график функции y=f(x) сдвинуть вдоль оси Oy вверх на c, если c>0, или на |c| вниз, если c<0.

Правило 3. Чтобы получить график функции y=-f(x) из графика функции y=f(x) нужно у каждой ординаты графика функции y=f(x) изменить знак на обратный, т.е. зеркально отразить график функции y=f(x) относительно оси Ox.

Правило 4. Чтобы получить график функции y=f(-x) из графика функции y=f(x) нужно зеркально отразить график функции y=f(x) относительно оси Oy.

Правило 5. Чтобы получить график функции y=kf(x) из графика функции y=f(x) нужно значение каждой ординаты графика функции y=f(x) умножить на число k.

Замечание. При этом от умножения всех значений функции y=f(x) на k>1 ординаты графика функции y=f(x) увеличиваются в k раз и происходит «растяжение» графика функции y=f(x) от оси Ох в k раз, а от умножения на 0<k<1 ординаты графика функции уменьшаются в k раз и происходит «сжатие» графика функции y=f(x) к оси Ox в k раз.

Правило 6. Чтобы построить график функции y=f(kx), нужно значения аргумента x разделить на число k.

Замечание. При этом от деления на k>1 всех значений аргумента функции y=f(x) график функции «сжимается» к оси Оу в 1/k раз, а от деления на k при 0<k<1 график функции «растягивается» от оси Оу в k раз.

Правило 7. Чтобы получить график функции y=|f(x)| из графика функции y=f(x), надо участки графика функции y=f(x), лежащие выше оси Ох оставить на месте, а участки ниже оси Ох зеркально отразить относительно этой оси.

Правило 8. Чтобы получить график функции y=f(|x|) из графика функции y=f(x), надо построить график функции y=f(x) при х≥0 и отразить его зеркально относительно оси Оу.

Правило 9. Чтобы получить график функции y=f(x)+g(x) из графика функций y=f(x) и y=g(x) нужно сложить соответствующие значения ординат графиков функций y=f(x) и y=g(x).

Правило 10. Чтобы получить график функции y=f(x)∙g(x) из графика функций y=f(x) и y=g(x), надо умножить соответствующие значения ординат графиков функций y=f(x) и y=g(x).

Правило 11. Чтобы получить график функции из графиков функций y=f(x) и y=g(x) надо разделить соответствующие значения ординат графиков функций y=f(x) и y=g(x) в точках, где g(x)≠0.

Правило 12. Чтобы построить график функции y=f(φ(x)), надо сначала построить график функции u=φ(x), а затем, зная свойства функции g=f(u), построить график сложной функции y=f(φ(x)).

14. Предел функции в точке.

Пусть функция f(x) определена на некотором промежутке Х. Возьмем из Х последовательность точек x₁, x₂,…, x_n,…, сходящуюся к точке х₀, причем х₀Х или х₀Х. Значения функции в точках этой последовательности также образуют числовую последовательность f(x₁), f(x₂),..., f(x_n),… и можно говорить о существовании её предела.

Определение. Число А называется пределом функции f(x) в точке х₀ (при х→х₀), если для любой сходящейся к х₀ последовательности x₁, x₂,…, x_n,… значений аргумента х, отличных от х₀, соответствующая последовательность f(x₁),..., f(x_n),… сходится к числу А.

.

Определение. Число А называется правым (левым) пределом функции f(x) в точке х₀, если для любой сходящейся последовательности к х₀ x₁, x₂,…, x_n,…, элементы x_n которой больше (меньше) числа х₀, соответствующая последовательность f(x₁),..., f(x_n),… сходится к А.

( ).

Теорема. Функция f(x) имеет в точке х₀ предел ⇔ когда в этой точке существуют как правый, так и левый пределы и они равны.