8. Сходящиеся последовательности.

Определение. Число a называется пределом числовой последовательности { }, если >0 N: n>N выполняется неравенство

При этом последовательность { } называется сходящейся.

Последовательность не являющаяся сходящейся, называется расходящейся.

Если последовательность { } сходится и имеет своим пределом число a, то символически это записывается так a.

Рассмотрим геометрическую интерпретацию определения предела последовательности. Поскольку последовательность представляет собой бесконечное множество чисел, то если она сходится в любой окрестности точки a на числовой прямой находится бесконечное число точек элементов этой последовательности, тогда как вне окрестности остается конечно число элементов. Поэтому предел последовательности часто называется точкой сгущения.

Точка сгущения

Замечание. Неограниченная последовательность не имеет конечного предела. Однако она, может иметь бесконечный предел, что записывается в след. виде .

Если при этом, начиная с некоторого номера , все члены последовательности положительны (отрицательны), то пишут ( ).

9. Свойства сходящихся последовательностей.

1. Если все элементы бесконечно малой последовательности { } равны одному и тому же числу с , то с=0.

2. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

3. Сходящаяся последовательность ограничена.

4. Сумма (разность) сходящихся последовательностей { } и { } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме (разности) пределов последовательности { } и { }.

5. Произведение сходящихся последовательностей есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов сомножителей.

6. Частное двух сходящихся последовательностей { } и { } при условии, что есть сходящаяся последовательность, предел которой равен частному пределов последовательностей { } и { }.

7. Если элементы сходящейся последовательности { } удовлетворяет неравенству ≥ ( ≤ ) начиная с некоторого номера, то предел a этой последовательности удовлетворяет неравенству a≥ (a≤ .

Пример. Найти .

Решение.

При n , . Поэтому использовать свойство 6 нельзя. Преобразуем эту последовательность, разделив числитель и знаменатель на :

= = = = .

Пример. Найти .

Решение.

=

Так как -1≤ ≤1, то это ограниченная последовательность, а - бесконечно малая последовательность, то согласно теореме , - бесконечно малая последовательность.

Значит, = = =0.

Пример. Найти - ).

Решение.

– )= = = = =0.

10. Монотонные последовательности.

Определение. Последовательность называется возрастающей, если неубывающей, если убывающей, если невозрастающей, если

Все такие последовательности называются монотонными.

Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.

Пример.

1. Последовательность убывающая и ограниченная.

2. возрастающая.

3. 1,1,2,2,3,3,…, n,n,… неубывающая.

Замечание. При исследовании на монотонность конкретных последовательностей чаще всего выясняют знак разности или (для положительных последовательностей ) сравнивают с отношением .

Пример. Доказать, что последовательность с общим членом монотонно возрастает.

Решение.

. Поэтому по определению данная последовательность возрастает.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.