3. Абсолютная величина числа.

Определение. Абсолютной величиной или модулем числа x∈ℝ называется само число x, если x < 0, или число ‐ x, если x < 0. Обозначается: .

Таким образом =

Свойства модуля:

1^⁰ ≥ 0.

2^⁰ = .

Доказательство: Если , то . Тогда . Если , то и .

3^⁰ .

Теорема 3:

.

Теорема 4:

Замечание:

1. 

2. 

3. , если

5. Числовые последовательности.

Числовые последовательности представляют собой бесконечные множества чисел.

Определение: Если каждому числу n∈ℕ поставлено в соответствии вещественное число x_n , то множество вещественных чисел x₁, x₂,…,x_n,… называется числовой последовательностью или просто проследовательностью.

Числа x₁, x₂,… называются элементарными или членами последовательности. Символ x_n – общим элементом (членом), а число n – его номером.

Сокращённо последовательности обозначаются следующим образом: .

Под последовательностью можно понимать бесконечное множество пронумерованных элементов. Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого её элемента.

Пример: 1)

2) : .

Определение. Пусть даны две произвольные последовательности и .

Произведением последовательности на число m называется последовательность . Обозначается: .

Суммой последовательностей и называется последовательность . Обозначается: .

Разностью последовательностей и называется последовательность . Обозначается: .

Произведением последовательностей и называется последовательность . Обозначается: .

Частным последовательностей и называется последовательность , . Обозначается: .

6. Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность { } называется ограниченной сверху (снизу), если (m ): ( ).

Определение. Последовательность { } называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е. : m≤ ≤М.

Определение. Последовательность { } называется неограниченной, если, А>0 элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству А.

Замечание. Из данных определений следует, что если последовательность ограничена сверху, то все ее элементы принадлежат промежутку ( ; если последовательность ограничена снизу, то все ее элементы принадлежат промежутку ; + ; а если она ограничена и сверху и снизу, то все элементы принадлежат промежутку ; . Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху (снизу).

Пример.

1. { }={n}, n - ограниченная снизу, но не ограничена сверху. (m =1)

2. { }={ } - ограничена: 0 1.

3. { }={-n}- ограничена сверху, но не ограничена снизу.

4. { }={ n}, является неограниченной.

7. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.

Определение. Последовательность { } называется бесконечно большой, если А>0 N выполняется неравенство А.

Определение. Последовательность { } называется бесконечно малой, если >0 N : выполняется М.

Пример. Используя определение, показать, что последовательность {n} является бесконечно большой.

Решение.

Пусть А>0. Из получим, что Если взять N≥А, то для всех n>N будет выполняться n>N≥А, т.е. n>А.

Теорема. Если { } – бесконечно большая последовательность и все ее члены отличны от 0, то последовательность { }={ }

бесконечно малая, и наоборот, если { }- бесконечно малая последовательность, то { }={ }- бесконечно большая последовательность (при

Теорема. Сумма и разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно есть бесконечно малые последовательности.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Теорема. Произведение любого конечного числа бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.

Замечание. Частное двух бесконечно малых последовательностей может быть любой последовательностью и может не иметь смысла.

Теорема. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую, есть бесконечно малая последовательность.

Следствие. Произведение бесконечно малой последовательности на число есть бесконечно малая последовательность.