
- •Введение.
- •Множество. Множество вещественных чисел.
- •1. Понятие множества. Операции над множествами.
- •2. Числовые множества. Множество действительных (вещественных) чисел.
- •3. Операции над вещественными числами.
- •Сложение и умножение вещественных чисел.
- •Сложение вещественных чисел.
- •Абсолютная величина числа.
- •5. Числовые последовательности.
- •6. Ограниченные и неограниченные последовательности
- •7. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
- •8. Сходящиеся последовательности.
- •9. Свойства сходящихся последовательностей.
- •10. Монотонные последовательности.
- •11. Число е.
- •12. Функции одной переменной. Понятие функции.
- •I.Аналитический способ.
- •II.Табличный способ.
- •III. Графический способ.
- •13. Построение графиков функций.
- •14. Предел функции в точке.
- •15. Предел функции на бесконечности.
- •16. Теорема о пределах функции.
- •17. Два замечательных предела.
- •18. Бесконечно большие и бесконечно малые функции.
- •19. Вычисление пределов функции.
- •20. Непрерывность функции.
- •21. Продолжение вычисления пределов функции.
- •Производная функции.
- •1. Определение и свойства.
- •2. Дифференциал функции. Приращение переменной в точке называют также дифференциалом в точке и обозначают Таким образом,
- •3. Геометрический и физический смысл производной.
- •4. Исследование функций на монотонность и экстремумы.
- •5. Исследования на выпуклость вверх и вниз.
- •6. Вычисление пределов функций с помощью производной. Правило Лопиталя.
2. Числовые множества. Множество действительных (вещественных) чисел.
Определение. Множества, элементами которых являются числа, называются числовыми.
- множество натуральных чисел;
- множество целых чисел;
- множество рациональных чисел;
- множество действительных чисел.
Замечание: Между множествами ℕ, ℤ, ℚ, ℝ существует соотношение:
.
Множество ℝ разбивается на два множества: ℚ и множество иррациональных чисел. Действительные числа, не являющиеся рациональными, называются иррациональными.
Теорема 1. Не существует рационального числа, квадрат которого равен числу 2.
Свойства множества ℝ:
1°.
Множество ℝ
является упорядоченным, т. е.
.
2°. Множество ℝ плотное, т. е. между любыми двумя различными числами a и b содержится бесконечное множество действительных чисел х.
3°. Множество ℝ непрерывное.
Пусть множество ℝ разбито на два непустых класса A и B такие, что каждое действительное число содержится только в одном из них и a∈A, b∈B выполнено a < b. Тогда (свойство непрерывности) существует единственное число c∈ℝ: a ≤ c ≤ b a∈A, b∈B. Оно отделяет числа класса A от чисел класса B. Число c называется либо наибольшим числом в классе A (тогда в B нет наименьшего числа), либо наименьшего в классе B (тогда в A нет наибольшего числа ).
Свойство непрерывности позволяет установить взаимно-однозначное соответствие между множеством ℝ и множеством всех точек прямой. Это означает, что x∈ℝ соответствует определённая единственная точка числовой оси, и наоборот, точке прямой соответствует определённое единственное действительное число.
Пусть a,b ∈ℝ, a < b. Будем использовать следующие обозначения:
[a,b]={x∈ℝ|a ≤ x ≤ b} – отрезок (сегмент);
(a,b)={x∈ℝ|a < x < b} – интервал;
ℝ=(-∞;˖∞);
[a;b), (a;b], (a;˖∞), [a;˖∞), (-∞;a), (-∞;a] – аналогично.
Определение.
Пусть x₀∈ℝ.
Окрестностью точки x₀
называется любой интервал (a,b), содержащий
точку x₀.
В частности интервал (x₀-
,x₀˖
),
где
> 0, называется -окрестность точки x₀.
3. Операции над вещественными числами.
Сложение и умножение вещественных чисел.
Для любой пары вещественных чисел a и b определены единственным образом два вещественных числа a+b и a·b, называемые, соответственно, их суммой и произведением.
Свойства операции "+" и "·".
1⁰ Коммутативное свойство: a+b=b+a
a·b=b·a
2⁰ Ассоциативное свойство: a+(b+c)=(a+b)+c
a·(b·c)=(a·b)·c
3⁰ Дистрибутивное свойство: (a+b)·c=a·c+b·c
c·(a+b)=c·a+c·b
4⁰
единственное 0∈ℝ:
a+0=0+a=a
∀a∈ℝ
5⁰ ∀a∈ℝ –a∈ℝ: a+(–a)=(–a)+a=0
6⁰
единственная
1
0:
∀∈ℝ:
a·1=1·a=a
7⁰
∀
0
a∈ℝ
a‐1∈ℝ:
a· a‐1=
a‐1·a=1,
a‐1=
.
Сложение вещественных чисел.
Для любых a, b∈ℝ установлено одно из трёх соотношений:
a=b, a > b или a < b.
1⁰ Если a > b и b > c, то a > c
2⁰ Если a > b, то a+b > b+c
3⁰ Если a > 0, b > 0, то a·b > 0
Число a∈ℝ, удовлетворяющее неравенству a > 0 называется положительным, а число a, удовлетворяющее неравенству a < 0 – отрицательным.