10. Математическое ожидание и дисперсия числа и частости на­ступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).

Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равно р, т.е. а ее дисперсия .

□ Частость события есть , т.е. , где Х - случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Поэтому

. ■

10. Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид:

Термин «нормальный» не совсем удачный. Многие признаки подчиняются нормальному закону, например, рост человека, дальность полета снаряда и т.п. Но если какой-либо признак подчиняется другому, отличному от нормального, закону распределения, то это вовсе не говорит о «ненормальности» явления, связанного с этим признаком.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. На рис. 4.5 а, б приведены нормальная кривая с параметрами а и , т.е. , и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон.

Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х=а, имеет максимум в точке х=а, равный , т.е. , и две точки перегиба с ординатой .

Можно заметить, что в выражении плотности нормального закона параметры обозначены буквами а и , которыми мы обозначаем математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х). Такое совпадение неслучайно. Рассмотрим теорему, устанавливающую теоретико-вероятностный смысл параметров нормального закона.

Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, т.е. , а ее дисперсия - параметру , т.е. .

□ Математическое ожидание случайной величины Х:

. Произведем замену переменной, положив . Тогда и , пределы интегрирования не меняются и, следовательно, .

(первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат промежутку, а второй интеграл - интеграл Эйлера­Пуассона).

Дисперсия случайной величины Х:

.

Сделаем ту же замену переменной , как и при вычислении предыдущего интеграла. Тогда

.

Применяя метод интегрирования по частям, получим:

.■

Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров а и (или ). Если , и меняется параметр а ( ), т.е. центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы (рис. 4.6).

Е сли a=const и меняется параметр (или ), то меняется ордината максимума кривой . При увеличении ордината максимума кривой уменьшается, но так как площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении а, напротив, нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. На рис. 4.7 показаны нормальные кривые с параметрами , где . Т.о., параметр а (он же математическое ожидание) характеризует положение Центра, а параметр (он же дисперсия) - форму нормальной кривой.

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а=0, =1, т.е. N(0;l), называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной.