Вопрос 37. Квантор существования

Кванторы существования – это слова “существует”, “некоторые”, “найдется”, “хотя бы один”.

Обозначение квантора существования : (х).

 Операцией связывания квантором существования называется правило, по которому каждому одноместному предикату  , определенному на множестве  , ставится в соответствие высказывание, обозначаемое   (читается: "существует [значение]  , такое, что   [истинное высказывание]"), которое ложно в том и только в том случае, когда   тождественно ложен, и истинно в противном случае, т.е.

При чтении высказывания   слова в квадратных скобках могут опускаться. Высказывание   называется экзистенциальным высказыванием для предиката  . Символ   происходит от первой буквы англ. exist — "существовать". Сам символ   также называют квантором существования по переменной  .

Например, рассмотрим два одноместных предиката, определенных на множестве   " " и " ". Первый предикат тождественно ложный, поэтому применение к нему операции связывания квантором существования дает ложное высказывание:   — "существует натуральное число, равное себе плюс 1". Второй предикат выполним, поэтому операция связывания квантором существования, примененная к нему, дает истинное высказывание:   — "существует натуральное число, делящее число 30".

Подобно выражению  , в выражении   переменная   также перестает быть переменной в обычном смысле слова: это — связанная переменная.

Если одноместный предикат   задан на конечном множестве  , то высказывание   эквивалентно (имеет то же логическое значение) дизъюнкции  . В самом деле, по определению 20.3 ложность высказывания   означает, что предикат   тождественно ложен, т.е. каждое из высказываний  , в которые данный предикат может превратиться, ложно. Последнее равносильно ложности дизъюнкции  .

Значит, для предикатов, заданных на конечном множестве, операция связывания квантором существования может быть выражена через дизъюнкцию. Для предикатов, заданных на бесконечном множестве, такого сделать нельзя, и в этом случае операция связывания квантором существования является существенно новой.

Вопрос 38 и 39. Отрицание высказываний и предикатов(высказываний и высказывательных форм)

Отрицание высказывания называют А высказывание, которое ложно, если высказывание А истинно, и истинно, если высказывание А- ложно.

Таблица истинности отрицания

А	А
и	л
л	и

Из данного определения следует, что предложение и его отрицание не могут быть ни одновременно истинны ни одновременно ложны.

Построим , например, отрицание ложного высказывания «число 29 делится на 9»:

А)число 28 не делится на 9

Б) наверно, чисто 28 делится на 9

Высказывания, которые мы получили, истинные. Значит, отрицание данного предложения мы построили верно

Рассмотрим правила построения отрицания конъюнкции и дизъюнкции высказываний. Если перед всем составным высказыванием поставить слова «наверно, что», то безусловно, получим его отрицание . а как быть с частицей «не»? можно ли ее поставить перед сказуемым составного предложения и получить его отрицание? Возьмем высказывание; « число 28 делится на 9 и на 4».

Оно ложное т.к представляет собой конъюнкцию 2х высказываний одно из которых ложно. Поставив перед сказуемым высказывание частицу «не», получим конъюнкцию «чисто 28 не делится на 9 и на 4», в которой одно из предложений «число 28 не делится на 4»- ложное и, значит, ложно построенное с помощью частицы «не» предложения. Поэтому оно не является отрицанием высказывания «число 28 делится на 9 и на 4».

Можно доказать, что отрицание конъюнкици 2х высказываний А и В является дизъюнкция их отрицаний. Для этого

Надо убедится в том, что значение истинности высказываний вида А∧В и А ^В совподяют при любых значениях истинности высказываний А и В . сделать это можно с помощью таблицы истинности:

А	В	А В	А В	А	В	А В
и	и	и	л	л	л	Л
и	л	л	и	л	и	и
л	и	л	и	и	л	и
л	л	л	и	и	и	и

Про высказывание вида А В и А В говорят что они равносильны, и пишут А В А В.

Аналогично можно доказать , что имеет место равносильность А В АВ . эти равносильности носят названия законов де Моргана.

Из них вытекает следующее правило, построение отрицания конъюнкции и дизъюнкции; что бы построить отрицание конъюнкции(дизъюнкции), достаточно заменить отрицаниями составляющие ее высказывания, а союз «и» («или») заменить союзом «или» («и») .

Примеры в учебнике на стр.75