Мат постановка обобщенной тз. Критерии оптимальности.

Математическая модель распределительной ТЗ

Здесь:i -индекс ресурсов, j-индекс производимой продукции, ai - ресурсы с номером i ,bj - потребность с номером j .хij - объем работы j производимой с помощью ресурсов i. kij - производительность ресурсов при выполнении работы j .cij - себестоимость при выполнении работы с привлечением ресурсов i.

Одно из приложений такой модели связано с оптимизацией распределения грузов в вагоны различного типа с учетом технической нагрузки, модель задачи производственного планирования, модель задачи оптимального регулирования порожнего парка вагонов, подачи вагонов – рефрижераторов на перевозку скоропортящихся грузов в сезонный период и другие. Еще одним примером задачи является оптимальное распределение различных типов самолетов по разным авиалиниям, с тем чтобы удовлетворить потребности пассажиров при минимально возможном уровне эксплуатационных расходов.

Решение распределит задачи методом разрешающих множителей. Алгоритм метода разрешающих множителей состоит из двух этапов. На первом необходимо построить первоначальное распределение. На втором этапе осуществляется построение оптимального плана методом разрешающих множителей Л.В.Канторовича. Шаг 1. Построение первоначального плана. В каждом столбце отыскивается максимальное значение показателя производительности ресурса относительно выпуска данного вида продукции. В соответствующую клетку заносится максимальный объем потребности данного столбца, невзирая на затраты необходимого объема ресурсов, и так далее до распределения всех потребностей. Шаг 2. Находятся небалансы Шаг 3. Проверка решения на оптимальность. Для задач должно выполняться условие: все небалансы должны иметь один знак или равны нулю. Если условие оптимальности не выполняется, переход к шагу 4; иначе получен оптимальный и допустимый план. Шаг 4. Расчет разрешающих множителей Шаг 5. Корректировка показателей производительности ресурсов. Шаг 6.Построение контура перераспределения базиса задачи. переход к шагу 3.

Ресурсы	1600	1300	600	400	1200	Небаланс
60	25	30	30	30	20	60-14=+46
				400 14
40	30	40	35	20	30	40-104=-64
	1600 54	1300 33	600 17
70	20	25	28	25	40	70-30=+40
					1200 30
	30/25=1,2	40/30=1,33	35/30=1,17	-	-

Решение распределй тз модиф методом потенциалов.

Шаг 1. Построение базиса выполняется с учетом минимальной стоимости ресурса и максимальной производительности его использования. Для этого в каждом столбце отыскивается клета с max показателем производительности (kij) и min стоимости (сij).

Шаг 2. Выполняется расстановка потенциалов по базисным элеметам матрицы по формулам: Vj=(Ui+Cij)\Kij, Ui=Vj*Kij-Cij

Расстановка потенциалов начинается с одной из строк, имеющей резерв неиспользованных ресурсов. Такой строке присваивается потенциал, равный нулюШаг 3. Выполняется проверка решения на оптимальность. Должны выполняться условия: Vi*Kij-Ui<=Cij

Если условия не выполняется, переход к шагу 4; иначе получен оптимальный и допустимый план. Шаг 4. Построение нового базиса. Отыскивается внебазисная клетка с наибольшим нарушением условия оптимальности относительно которой строится контур перераспределения элементов базиса. Существует два типа контуров. Первый - замкнутого вида,. Другой контур - открытого типа , включает в себя два элемента n+1 столбца с резервами ресурсов. После построения нового базиса с учетом расчетов по найденному контуру - переход к шагу 2.

Постановка ОЗЛП и ее экономическое значение.

Модель общей задачи линейного программирования в общем виде выглядит так: i - номер ресурса;j - номер выполняемой работы;

bi - количество ресурсов с номером i;

Найти мах F=c1+c2+c3+...cj+...+cn при условиях:

a11x1+a12x2+a13x3+...a1jxj+ ...+a1nxn<=b1

a21x1+a22x2+a23x3+...a2jxj+ ...+a2nxn<=b2

ai1x1+ ai2x2+ ai3x3+... aijxj+ ...+ ainxn <=bi

an1x1+an2x2+an3x3+...anjxj+...+annxn<=bn

x1 >=0 x2>=0 x3>=0 xj>=0 xn>=0

необходимо выпускать изделия, обеспечивает массу, ресурсы используютс

Построение допустимого плана ОЗЛП. Симплекс-метод

Шаг 1. Построение канонической формы. Для каждого ограничения вводим Xj >=0 - дополнительную переменную.

Шаг 2. Строится базис допустимого плана относительно этих переменных. Для этого приравняем 0 переменные X1= X2= X3= X4=0. На основе базиса допустимого плана построим специальную форму для решения задачи симплекс-методом. Здесь в столбце ci приведены показатели целевой функции переменных, входящих в базис задачи. pi - наименования самих показателей, X5, X6, X7 , В столбце Xi приведены значения показателей: X5=12, X6=8, X7 =48. Первая строка таблицы содержит значения показателей cj . Вторая строка содержит наименования переменных канонической формы. Последняя - индексная строка содержит данные коэффициентов, рассчитываемых на шаге 3: zj-cj Шаг 3. Рассчитываются симплекс- множители (zj ) и показатели индексной строки zj-cj,: где zj рассчитывается по формуле:ci*aij Шаг 4. Выполняется проверка решения на оптимальность. Для задач на максимум целевой функции должно выполняться условие:zj-cj>=0 Шаг 5. Выбор ключевого столбца. Из показателей индексной строки выбирается значение с наибольшим отклонением от условия оптимальности. Соответствующая переменная на следующей итерации входит в базис задачи. Выбор ключевой строки. Находится минимальное отношение показателей столбцов xi и aij при условии , что aij>=0. Шаг 6. Выполняются симплекс - преобразования: 8-12*2/4=2; aij*=aij-(ai1j*aij1)\Aj1i1

Анализ оптимального плана решения задачи состоит из нескольких этапов. Из содержания оптимального плана следует что, необходимо выпускать изделия первого (х1) и четвертого (х4) вида в количестве 97,5 и 380 единиц. Это обеспечивает массу прибыли в 5535 стоимостных единиц. Остальные изделия в оптимальный план не попали. Это значит, что значения соответствующих переменных равны : х2=х3=0.

Подставим значения неизвестных в оптимальном плане в систему неравенств модели. Имеем:770=770; 575<740 ; 195<700 ; 575<800; 760=760 X1 >0 X2 =0 X3 =0 X4 >0 Первое и последнее неравенства выполняются как равенства, т.е. ресурсы используются полностью, а второе, третье и четвертое неравенства выполняются как строгие - имеются излишние ресурсы в количестве 895 ед.. Этому же соответствует и значения дополнительных переменных х6+х7+х8=895 ед. Двойственная оценка характеризует прирост прибыли на единицу прироста соответствующего ресурса. Используя двойственные оценки видно что, ресурсы пятого вида наиболее эффективны для производства. Каждая единица прироста этого ресурса обеспечивает увеличение целевой функции на 4,75 единицы.