1. Линейного программирования если известны затраты на складирование (при перепроизводстве) или штрафы за недопоставку (при дефиците),. Для этого в целевую функцию ввести дополнительные затраты.

2. Сбалансированную транспортную. Для этого необходимо привести несбалансированную задачу к сбалансированной.

Для этого,

• В случае перепроизводства – ввести фиктивный пункт распределения. При этом, если известна стоимость складирования, то стоимость перевозок единицы продукции положить равной стоимости складирования или нулю, если неизвестна стоимость складирования. А потребность фиктивного пункта распределения равна объемам складирования излишков продукции на фабриках.

• В случае дефицита – ввести фиктивную фабрику. Стоимость перевозок единицы продукции с фиктивной фабрики полагается равной стоимости штрафов (если они известны) за недопоставку продукции или равной нулю(если они неизвестны). А объемы производства равны объемам недопоставок продукции в пункты распределения.

Разберем это на примере.

Поставленная задача является несбалансированной.

1. Решим ее введя в целевую функцию дополнительные затраты на штрафы (у нас дефицит).

Математическая модель для данного случая будет следующей:

Ц.Ф. F= должна стремиться к минимуму

При ограничениях

- это потребности в продукции.

;

- это объемы производства

.

где с _ij— стоимость перевозки единицы продукции с i-и фабрики в j-й центр распределения,

— объем производства на i-и фабрике, bj — спрос в j-м центре распределения.

При формировании плана выполнения транспортных операций автотранспортного предприятия, осуществляющего грузоперевозки для нужд региона или для группы грузоотправляющих и грузополучащающих предприятий, часто возникают задачи оптимального использования транспортных средств.

Это происходит в связи с тем, что регион может иметь сложную транспортную сеть, позволяющую использовать различные маршруты для выполнения одних и тех же перевозок, многие из которых будут неоптимальными. Однако выяснить это можно только после оценки каждого возможного маршрута по выбранному критерию эффективности, позволяющему однозначно выявлять оптимальный маршрут. Задача значительно усложняется, если необходимо дополнительно учесть грузопотоки между обслуживаемыми предприятиями. Решение таких задач возможно только с использованием специализированного математического аппарата. Опыт показывает, что пренебречь математическими методами оптимизации нельзя при решении даже самых простых задач перевозок. (Линейное программирование)

Линейное программирование позволяет решать не только задачи нахождения оптимальных маршрутов (оптимальных вариантов закрепления грузополучателей за грузоотправителями), но и задачи закрепления автохозяйств за грузовладельцами, выбора типа подвижного состава и распределения его по маршрутам, определения необходимого количества автомобилей, погрузочно-разгрузочных механизмов и др., причем расчеты будут вестись по одному и тому же алгоритму.

Известны следующие методы решения задач линейного программирования: метод северо-западного угла, правило минимального элемента, метод Фогеля, метод потенциалов, симплексный, распределительный, разрешающих множителей и слагаемых и др.

Первые три из перечисленных методов являются достаточно простыми и применяются в основном для решения относительно простых задач или построения опорного плана, который далее необходимо улучшать. Универсальным методом, пригодным для решения задач разных типов, является симплексный метод. Однако он громоздкий и, как правило, требует применения вычислительной техники

Общая методика решения задач линейного программирования — это последовательное улучшение вариантов. Сначала составляется опорный план. Для сокращения объема расчетов он должен быть по возможности близким к оптимальному. Затем по определенному алгоритму отыскиваются новые (лучшие) варианты. Наконец, находят оптимальный вариант.

Из грузоотправляющих пунктов А и Г необходимо перевезти груз в грузополучающие пункты В и Б (рис. 5.1). Из пункта А может быть перевезено 300т, из пункта Г — 200т. Расстояния перевозок указаны на рисунке. Необходимо так спланировать перевозки, чтобы общий объем транспортной работы (в тонна-километрах) или среднее расстояние ездки с грузом (в километрах) были минимальными

Можно рассмотреть различные варианты перевозок. На первый взгляд кажется, что наиболее целесообразно весь груз из пункта А доставлять в пункт Б, а из пункта Г — в пункт В. Общий объем транспортной работы при этом составит 300 • 10 + 200 • 4 = 3800 т • км. На самом деле близким к оптимальному варианту перевозок будет следующий: из пункта А в пункт В перевозится 200 т и в пункт Б — 100 т. Из пункта Г перевозится 200 т в пункт Б. Распределение груза осуществлено с учетом наименьших расстояний перевозок.

В этом случае транспортная работа будет равна: 200 • 6 + 100 • 10 + 200 • 6 = 3400 т • км. Среднее расстояние перевозок 1 т груза в первом варианте составляет 7,6 км (3800 : 500), во втором — 6,8 км (3400 : 500).

Таким образом, при грамотном подходе к решению даже этой простейшей задачи можно добиться снижения объема транспортной работы более чем на 15 %.

Рассмотрим методику определения кратчайших расстояний перевозок из некоторого начального в несколько конечных пунктов, позволяющую находить наилучшие (по пробегу) маршруты перевозок с учетом сложившейся сети дорог. Для каждой пары пунктов, между которыми осуществляется перевозка грузов, возможно движение по разным маршрутам, поэтому все их необходимо сравнивать, чтобы выбрать наилучший (кратчайший). В качестве критерия оптимизации маршрута будем использовать минимальный пробег.

Решать эту задачу можно с помощью теории графов. С формальной точки зрения граф представляет собой упорядоченную пару множеств G = (V, Е), первое из которых дает информацию о количестве и наименовании вершин (узлов) графа, а второе характеризует связывающие их ребра.

При формировании плана автомобильных перевозок для автотранспортного предприятия или группы предприятий на достаточно продолжительный период времени очень важно, чтобы его параметры были близки к оптимальному.

Другими словами, выполнение плана перевозок должно осуществляться с минимумом затрат или (что практически одно и то же) с минимальным общим пробегом либо транспортной работой.

В качестве исходных данных для составления плана используется:

• перечень поставщиков перевозимых продуктов, располагающих определенными запасами;

• перечень потребителей, требующих определенного количества продуктов;

• стоимость перемещения единицы продукта (или расстояние между поставщиками и потребителями).

Реальный план перевозок включает большую номенклатуру поставщиков и потребителей, а соответственно и большое количество связывающих их маршрутов.

Как правило, на АТП эксплуатируется разномарочный подвижной состав, который и будет выполнять эти перевозки, поэтому затраты на перемещение единицы продукта будут разными (затраты на перевозку единицы продукта автомобилем малой или большой грузоподъемности могут различаться в несколько раз). Точно спрогнозировать, каким автомобилем будет осуществлена перевозка, заранее достаточно сложно. Существуют и другие факторы, влияющие на эффективность выполнения плана перевозок: изменение природно-климатических и сезонных условий, дорожная обстановка на маршрутах, большая номенклатура перевозимых грузов, необходимость использования специального подвижного состава, наличие и эффективность работы погрузочно-разгрузочных устройств в пунктах погрузки и выгрузки, объемы минимальных партий перевозок и т.д. Вследствие этого корректно решить поставленную задачу разработки оптимального плана перевозок с использованием аналитических методов расчета не представляется возможным, поскольку таких методов в настоящее время не существует. Поэтому для получения хотя бы приемлемого плана перевозок необходимо упростить поставленную задачу, чтобы можно было применить для её решения известные математические схемы. В качестве принимаемых допущений используют следующие: перемещается однородный продукт, требующий одного и того же подвижного состава; затраты на перемещение единицы продукта постоянны и не зависят ни от каких реально действующих факторов.

Таким образом, задачу формирования оптимального плана перевозок приводят к решению транспортной задачи, которая решается с использованием математической схемы задачи линейного программирования.

Транспортная задача формируется следующим образом.

В m пунктах отправления А₁, … , А_m сосредоточен однородный груз в количествах а₁, …, а_m единиц. Имеющийся груз необходимо доставить потребителям B₁, … , B_n, спрос которых выражается величинами b₁, …, b_n единиц. Известна стоимость перевозки единицы груза из i-го (i=1,m) пункта отправления в j-ый (j=1,n) пункт назначения. Требуется составить план перевозок, который полностью удовлетворяет спрос потребителей в грузе, и при этом суммарные транспортные издержки минимизируются.

Обозначим через x_{i j} (i=1,m; j=1,n) количество единиц груза, которое необходимо доставить из i-го пункта отправления в j-ый пункт назначения.

Для наглядности условия транспортной задачи можно представить таблицей.

Поставщики	Потребители							Запас груза
В1		В2		…	Вn
А1		с1 1		с1 2	…		с1 n	a1
	х1 1		х1 2		…	х1 n
А2		с2 1		с2 2	…		с2 n	a2
	х2 1		х2 2		…	х2 n
…	…	…	…	…	…	…	…	…
Аm		сm 1		сm 2	…		сm n	am
	хm 1		хm 2		…	хm n
Потребность в грузе	b1		b2			bn

Математическая модель транспортной задачи запишется следующим образом:

ЦФ

При ограничениях

И граничных условиях

Математическая модель транспортной задачи называется закрытой (сбалансированной), если суммарный объем груза, имеющегося у поставщиков, равен суммарному спросу потребителей, т.е. выполняется равенство

Если для транспортной задачи выполняется одно из условий:

Или

То модель задачи называется открытой (несбалансированной).

Для решения транспортной задачи с открытой моделью необходимо преобразовать ее в закрытую.

Так при выполнении первого условия необходимо ввести фиктивного потребителя В_n+1 спрос которого будет равен

При выполнении второго условия необходимо ввести А_m+1 производителя, объем производства которого будет равен

При этом все тарифы дополнительного потребителя (производителя) чаще всего равны нулю.

Например:

Предположим, что фирма имеет 4 фабрики и 5 центров распределения ее товаров. Фабрики фирмы располагаются в Минске, Борисове, Смоленске и Жодино с производственными возможностями 200, 150, 225 и 175 единиц продукции ежедневно, соответственно. Центры распределения товаров фирмы располагаются в Могилеве, Гомеле, Пружанах, Витебске и Солигорске с потребностями в 100, 200, 100, 250 и 150 единиц продукции ежедневно, соответственно. Хранение на фабрике единицы продукции, не поставленной в центр распределения, обходится в $0,75 в день, а штраф за просроченную поставку единицы продукции, заказанной потребителем в центре распределения, но там не находящейся, равен $2,5 в день. Стоимость перевозки единицы продукции с фабрик в пункты распределения приведена в табл. 1.

Таблица 1. Транспортные расходы

	Могилев	Гомель	Пружаны	Витебск	Солигорск
Минск	1,5	2	1,75	2,25	2,25
Борисов	2,5	2	1,75	1	1,5
Смоленск	2	1,5	1,5	1,75	1,75
Жодино	2	0,5	1,75	1,75	1,75

Необходимо так спланировать перевозки, чтобы минимизировать суммарные транспортные расходы.

Опорный план – Кузнецов А.В. Математическое программирование (стр 147)

Содержание

1.1. Назначение Mathcad

1.2. Интерфейс пользователя

1.2.1. Меню

1.2.2. Панели инструментов

1.2.3 Настройка состава основных панелей

1.2.4. Строка состояния

2. РЕДАКТИРОВАНИЕ ДОКУМЕНТОВ

2.1. Работа с документами

2.1.1 Создание нового документа

2.1.2. Сохранение документа

2.1.3. Открытие существующего документа

2.2. Структура документа в MathCad.

2.2.1 Ввод и редактирование формул

2.2.2. Ввод и редактирование текста

2.3. Правка документа

2.3.1 Выделение части документа

2.3.2 Отмена выделения

2.3.3 Удаление части документа

2.3.4 Вырезка, копирование, вставка и перемещение части документа

2.3.5 Выравнивание регионов

2.3.5 Обновление вида документа

2.3.6 Поиск и замена

2.3.7 Проверка орфографии

3 Входной язык MathCad

3.1 Константы

3.2 Переменные

3.3 Векторы, матрицы

3.4 Операторы

3.5 Встроенные функции и функции пользователя

1.1. Назначение Mathcad

Mathcad является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов. Пользователи Mathcad — это студенты, ученые, инженеры, разнообразные технические специалисты. Благодаря простоте применения, наглядности математических действий, обширной библиотеке встроенных функций и численных методов, возможности символьных вычислений, а также превосходному аппарату представления результатов (графики самых разных типов, мощных средств подготовки печатных документов и Web-страниц), Mathcad стал наиболее популярным математическим приложением.

Mathcad, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG ("What You See Is What You Get" — "что Вы видите, то и получите"). Поэтому он очень прост в использовании, в частности, из-за отсутствия необходимости, сначала писать программу, реализующую те или иные математические расчеты, а потом запускать ее на исполнение. Вместо этого достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Кроме того, можно изготовить на принтере печатную копию документа или создать страницу в Интернете именно в том виде, который этот документ имеет на экране компьютера при работе с Mathcad. Создатели Mathcad сделали все возможное, чтобы пользователь, не обладающий специальными знаниями в программировании (а таких большинство среди ученых и инженеров), мог в полной мере приобщиться к достижениям современной вычислительной науки и компьютерных технологий. Для эффективной работы с редактором Mathcad достаточно базовых навыков пользователя. С другой стороны, профессиональные программисты (к которым относит себя и автор этих строк) могут извлечь из Mathcad намного больше, создавая различные программные решения, существенно расширяющие возможности, непосредственно заложенные в Mathcad.

В соответствии с проблемами реальной жизни, математикам приходится решать одну или несколько из следующих задач:

• ввод на компьютере разнообразных математических выражений (для дальнейших расчетов или создания документов, презентаций, Web-страниц);

• проведение математических расчетов;

• подготовка графиков с результатами расчетов;

• ввод исходных данных и вывод результатов в текстовые файлы или файлы с базами данных в других форматах;

• подготовка отчетов работы в виде печатных документов;

• подготовка Web-страниц и публикация результатов в Интернете;

• получение различной справочной информации из области математики.

Со всеми этими (а также некоторыми другими) задачами с успехом справляется Mathcad:

• математические выражения и текст вводятся с помощью формульного редактора Mathcad, который по возможностям и простоте использования не уступает, к примеру, редактору формул, встроенному в Microsoft Word;

• математические расчеты производятся немедленно, в соответствии с введенными формулами;

• графики различных типов (по выбору пользователя) с богатыми возможностями форматирования вставляются непосредственно в документы;

• возможен ввод и вывод данных в файлы различных форматов;

• документы могут быть распечатаны непосредственно в Mathcad в том виде, который пользователь видит на экране компьютера, или сохранены в формате RTF для последующего редактирования в более мощных текстовых редакторах (например Microsoft Word);

• возможно полноценное сохранение документов Mathcad в формате Web-страниц (генерация вспомогательных графических файлов происходит автоматически);

• имеется опция объединения разрабатываемых Вами документов в электронные книги, которые, с одной стороны, позволяют в удобном виде хранить математическую информацию, а с другой — являются полноценными Mathcad-программами, способными осуществлять расчеты;

• символьные вычисления позволяют осуществлять аналитические преобразования, а также мгновенно получать разнообразную справочную математическую информацию

Таким образом, следует хорошо представлять себе, что в состав Mathcad входят несколько интегрированных между собой компонентов — это мощный текстовый редактор для ввода и редактирования как текста, так и формул, вычислительный процессор — для проведения расчетов согласно введенным формулам и символьный процессор, являющийся, по сути, системой искусственного интеллекта. Сочетание этих компонентов создает удобную вычислительную среду для разнообразных математических расчетов и, одновременно, документирования результатов работы