3.4 Примеры задач линейного программирования.

К кругу задач линейного программирования относятся задачи о наилучшем использовании ресурсов, задачи о распределении заказа, транспортные задачи, задачи о смесях, задачи о выборе оптимальных технологий и т.д.

Для аналитического решения задач линейного программирования существует специальный аналитический метод, называемый симплекс-методом. Аналитическое решение с помощью этого метода дело весьма сложно.

Excel предлагает мощный инструмент решения задач линейного программирования – ПОИСК РЕШЕНИЯ. От пользователя требуется только грамотно сформулировать для Excel задачу.

3.4.1 Задача о наилучшем использовании ресурсов.

Пусть некоторая производственная единица (цех, завод, объединение и т. д.), исходя из конъюнктуры рынка, технических или технологических возможностей и имеющихся ресурсов, может выпускать n различных видов продукции Пj (j=1..n). Предприятие при производстве этих видов продукции должно ограничиваться имеющимися видами ресурсов, технологий, других производственных факторов (сырья, полуфабрикатов, рабочей силы, оборудования, электроэнергии и т. д.). Пусть их число равно m (i= 1, m).Они ограничены, и их количества равны соответственно условных единиц. Таким образом, b= —вектор ресурсов. Известна экономическая выгода (мера полезности) производства продукции каждого вида, исчисляемая, скажем, по отпускной цене товара, его прибыльности, издержкам производства, степени удовлетворения потребностей и т. д. Примем в качестве такой меры, например, цену реализации - вектор цен.

Известны также технологические коэффициенты _;, которые указывают, сколько единиц i-ro ресурса требуется для производства единицы продукции j-го вида. Матрицу коэффициентов называют технологической и обозначают буквой А.

Обозначим через план производства, показывающий, какие виды товаров Пj нужно производить и в каких количествах, чтобы обеспечить предприятию максимум объема реализации при имеющихся ресурсах.

Тогда мат модель следующая

При ограничениях

Пример.

Требуется определить, в каком количестве надо выпустить продукцию четырех типов: Прод1, Прод2, Прод3, Прод4, для изготовления которой требуются ресурсы трех видов: трудовые, сырье, финансы. Количество ресурсов каждого вида, необходимое для выпуска единицы продукции данного типа, называется нормой расхода. Нормы расхода, а также прибыль, получаемая от реализации единицы каждого типа продукции, приведены в таблице 1.

Таблица 3.1

Ресурс	Прод1	Прод2	Прод3	Прод4	Знак	Наличие
Прибыль	60	70	120	130	max
Трудовые	1	1	1	1		16
Сырье	6	5	4	3		110
Финансы	4	6	10	13		100

Составим математическую модель, для чего введем следующие обозначения:

x_j – количество выпускаемой продукции j- типа, j=1..4;

b_i – количество распределяемого ресурса i- го вида, j=1..3;

a_ij – норма расхода i-го ресурса для выпуска единицы продукции j-го типа;

c_j – прибыль, получаемая от реализации единицы продукции j- го типа.

Математическая модель задачи будет иметь вид:

F=60x₁+70x₂+120x₃+130x₄max

x₁+x₂+x₃+x₄16

6x₁+5x₂+4x₃+3x₄110

4x₁+6x₂+10x₃+13x₄100

x_j0; j=1..4

где х₁,х₂,х₃,х₄ – количество выпускаемой Прод1, Прод2, Прод3, Прод4.

Для решения этой задачи в EXCEL с помощью средства «Поиска решений» введем данные как показано на рис.1.

Рисунок 3.1

В ячейку F5 ввести целевую функцию. В ячейки F9:F11 ввести левые части ограничений по ресурсам (трудовым, сырью, финансам). Для этого скопировать формулу F5 в ячейки F9:F11.

Теперь выберем команду Сервис, Поиск решения и заполним открывшееся диалоговое окно Поиск решения :

Установить целевую функцию F5;

В поле Равной - Максимальное значение;

В поле Изменяя ячейки - B3:E3;

В поле Ограничения

F9<=H9;

F10<=H10;

F11<=H11;

B3>=B4;

C3>=С4;

D3>=D4;

E3>=E4;(Для ввода ограничений использовать кнопку Добавить диалогового окна Поиск решения.

Необходимо в диалоговом окне Параметры поиска решения

установить флажок Линейная модель. После нажатия кнопки Выполнить получим оптимальное решение задачи.

Результаты решения представлены на рис.2

Рисунок 3.2