Существуют допустимые решения (т.Е. Решения, удовлетворяющие всем ограничениям и граничным условиям)
Есть целевая функция, показывающая в каком смысле принимаемое решение должно быть оптимальным, т.Е. Наилучшим из допустимых.
Совокупность
неизвестных величин
,
действуя на которые, систему можно
совершенствовать, называют планом
задачи.
План Х, удовлетворяющий ограничениям задачи, называют допустимым.
Допустимый план, доставляющий функции цели (целевой функции) экстремальное значение, называют оптимальным.
Так и в жизни. Каждый шаг человека, каждое принимаемое решение – это зачастую неосознанное действие для того, чтобы получить оптимальный результат.
И не случайно это естественное поведение человека нашло отражение в пословицах:
«Рыба ищет, где глубже, а человек – где лучше» - что соответствует задаче максимизации.
«Из двух зол выбирают меньшее» - задаче минимизации.
3.2 Краткая классификация методов математического программирования.
А) Если целевая функция Z и система функций ограничений линейны относительно входящих в задачу неизвестных хj , то такой раздел математического программирования называется линейным программированием.
Методы и модели линейного программирования широко применяются при оптимизации во всех отраслях производства:
При разработке производственной программы предприятия
При размещении заказов между исполнителями
При определении наилучшего ассортимента выпускаемой продукции
При планировании грузоперевозок
И т.д.
Начало линейному программированию было положено в 1939 году советским математиком–экономистом Кантаровичем Л.В. в работе «Математические методы организации и планирования производства». Появление этой работы открыло новый этап в применении математики в экономике. Спустя десять лет американский математик Дж. Данциг разработал эффективный метод решения данного класса задач – симплекс метод.
Б) Если в задаче математического программирования целевая функция и (или) хотя бы одна из функций системы ограничений нелинейна, то такой раздел называется нелинейным программированием.
В) Если на все или некоторые переменные хj наложено условие целочисленности, то такие задачи относятся к задачам целочисленного (дискретного) программирования.
До сих пор речь шла о задачах математического программирования с одной целевой функцией.
Однако реальные ситуации настолько сложны, что нередко приходится одновременно учитывать несколько целевых функций, которые должны принимать экстремальные значения.
Задачи, где находится решение по нескольким целевым функциям, относятся к задачам многокритериального подхода.
3.3 Формы записи задач линейного программирования.
Модель задачи линейного программирования может быть записана в одной из приведенных ниже форм.
1) Общая, или произвольная, форма записи
При ограничениях:
Симметричная (стандартная) форма записи
Каноническая (основная) форма записи
Все указанные выше три формы записи ЗЛП эквивалентны в том смысле, что каждая из них с помощью несложных преобразований может быть сведена к другой форме, т.е. если имеется способ нахождения оптимального решения задачи в одной из указанных форм, то тем самым может быть определен оптимальный план задачи в любой другой форме.
Так, при необходимости задачу минимизации можно заменить задачей максимизации, и наоборот. Очевидно, что минимальное значение функции z(x) равно максимальному значению функции -z(x), взятому с противоположным знаком, т.е.
Min ( z(x)) = -Max ( -z(x))
Неравенства типа >= путем умножения левых и правых частей на -1 можно превратить в неравенство типа <=, и наоборот. Ограничения неравенства
преобразуются в
ограничения равенства путем прибавления
(вычитания ) к левым частям дополнительных
(балансовых) неотрицательных переменных
:
В случае необходимости ограничение равенство
Можно записать в виде неравенств
Если в задаче
линейного программирования какая-то
переменная
не подчинена условию неотрицательности,
ее заменяют разностью двух неотрицательных
переменных
Вводимые дополнительные переменные имеют определенный экономический смысл, прямо связанный с содержанием задачи. Так в задачах об использовании ресурсов они показывают величину неиспользованных ресурсов, в задачах о смесях – потребление соответствующего компонента сверх нормы.