11. А.В. Кузнецов, в.А.Сакович, н.И. Холод. Высшая математика. Математическое программирование., Минск, «Вышэйшая школа», 1994г.286 с., ил

Такие методы объединяются под общим названием – математическое программирование.

Математическое программирование – это область математики, разрабатывающая теорию и численные методы решения многомерных экстремальных задач с ограничениями, т.е. задач на экстремум функций многих переменных с ограничениями на область изменения этих переменных.

3. 1 Общий случай задачи оптимизации

Вначале остановимся (чтобы понять суть) на самом простом примере.

Необходимо спроектировать бак, имеющий форму прямоугольного параллелепипеда, объем которого

где а, в, с - стороны бака.

Требуется определить размеры бак, объемом 2000, чтобы на его изготовление пошло как можно меньше материала, площадь которого

Т.е. нам необходимо минимизировать величину S при условии, что V=2000/

Или Z=S = 2*[a*b+(a+b)*h] min, a*b*h=2000

К этому очевидно стоит добавить очевидное, что все стороны прямоугольника должны быть положительны, т.е. а,b,с>0.

Вторая задача, как спроектировать бак, чтобы длина сварного шва была минимальной, т.е.

Z=L=2*(a+2*b)+hmin, т.е выбрать заданный вариант в заданном смысле.

Одна и та же практическая задача в зависимости от постановки и математического описания может приводить к разным задачам оптимизации.

Если обозначим через х₁ =а, х₂ =b, х₃ =h, тогда

Z=F=2*[x₁ *x₂ +( x₁ + x₂ )*x₃ ]min

x₁* x₂* x₃= 2000

x₁, x₂, x₃>0

В общем случае задача оптимизации запишется в следующем виде:

Здесь

• ЦФ – целевая функция или критерий оптимизации показывает, в каком смысле решение должно быть оптимальным, т.е. наилучшим. При этом возможны 3 вида назначения целевой функции максимизация минимизация назначение заданного значения

• ОГР – ограничения устанавливают зависимости между переменными. Они могут быть

как односторонние

так и двухсторонние

• ГРУ – граничные условия показывают, в каких пределах могут быть значения искомых переменных в оптимальном решении.

Решение задачи, удовлетворяющее всем ограничениям и граничным условиям, называется допустимым.

Важной характеристикой задачи оптимизации является ее размерность, определяемая

• Числом переменных «n»

• И числом ограничений «m»

Непременное требование для задач оптимизации это n>m

Объясним это.

Между n и m возможны соотношения:

1. n<m

Например: Есть ограничения

х₁ + 2 = 5

х₁ - 8 = 15

Получим из первого ограничения х₁=3, из второго х₁=7. Здесь n=1, m=2 . Очевидно, что такие задачи решения (ограничения) не имеют.

2. n=m

Например

х₁ + х₂ = 5

х₁ - х₂ = 1

Здесь n=2, m=2. Такое соотношение n и m – это необходимое условие для решения системы уравнений. Такую систему, можно рассматривать, как задачу оптимизации, имеющую одно допустимое решение, и решать ее как обычную задачу оптимизации, назначая в качестве целевой функции любую переменную.

3. n>m

Например

х₁ + х₂ = 5;

Здесь n=2, m=1. В этом случае может быт бесчисленное множество значений х₁ , х₂ , которые удовлетворяют данному уравнению.

Задача имеет оптимальное решение, если она удовлетворяет двум требованиям: