15.1. Эмпирические функции регрессии
Постановка задачи
При экспериментальном изучении функциональной зависимости одной величины (y) от другой (x) проводят ряд измерений величины y при различных значениях величины х.
Предположим, что изучается зависимость номинальной мощности автомобильного двигателя от устанавливаемого угла опережения зажигания (УОЗ). Для этого устанавливают минимальный УОЗ (при котором двигатель будет еще работать), запускают двигатель и на стенде тяговых качеств определяют номинальную мощность. Затем увеличивают УОЗ на один или несколько градусов (в зависимости от программы эксперимента) и снова определяют номинальную мощность. Опыты проводят до того момента, пока УОЗ не станет равным максимальному.
Результаты экспериментов можно представить графически (рис. 2.1) или в табличном виде (табл. 2.1).
Рисунок 2.1 – Графическое представление результатов однофакторного эксперимента.
Однако, такие формы представления результатов не позволяют четко представить характер зависимости данных величин – аргумента и функции. Это можно сделать только на основе полученной аналитической зависимости, достаточно хорошо описывающей результаты эксперимента.
Таблица 2.1 –Результаты однофакторного эксперимента в табличном виде
УОЗ (x) |
x1 |
x2 |
… |
xi |
… |
xn |
Номинальная мощность (Y) |
y1 |
y2 |
… |
yi |
… |
yn |
Таким образом, ставится задача аналитического представления искомой функциональной зависимости. Адекватность модели?????????
Сложность задачи заключается в том, что наличие случайных ошибок измерения (как говорят наличие «шумов» в эксперименте) делает нецелесообразным подбор такой функции, которая точно описывала бы все опытные значения, т.е. график не должен проходить через все точки, а по возможности должен сглаживать «шум». Сглаживание будет тем больше и надежнее, чем больше количество проведенных экспериментов.
Например, для проведения прямой y=a0+a1*x необходимы две точки: (х1,y1) (x2,y2) если они известны точно. А для проведения более сложной аналитической зависимости при наличии значительного «шума» может понадобиться и большее количество экспериментальных точек.
Посмотреть :
Колесников А., Excel 2000- К.: Издательская группа BHV, 1999 –496с.: ил
А.В. Кузнецов, В.А.Сакович, Н.И. Холод. Высшая математика. Математическое программирование., Минск, «Вышэйшая школа», 1994г.286 с., ил
Б.П. Демидович, И.А. Марон и др. Численные методы анализа., М:, «Наука», 1967г., 368с.,
Итак, имеются наблюдаемые значения случайной величины (СВ) - точки (xi,yi) i=1,…,n. Если аналитическое выражение зависимости y от x неизвестно, то возникает практически важная задача: выбрать по статистическим данным (xi,yi) i=1,…,n общий вид эмпирической функции регрессии y=f(x), значения которой при х=хi возможно мало отличались бы от опытных данных yi.(рисунок 2.1).
Построение эмпирической функции регрессии слагается из двух этапов: