28. Определение основных элементарных функций

Основные элементарные функции:

• постоянная у = с, с = const;

• степенная у = хⁿ, n  R;

• показательная у = а^х, а > 0, a ≠ 1;

• логарифмическая у = log_ax, а > 0, a ≠ 1;

• тригонометрические у = Sin(x), y = Cos(x), y = tg(x), y = ctg(x);

обратные тригонометрические y = arcSin x, y = arcCos x и др.

29. Определение числовой последовательности , ее предела

Числовая последовательность а_n – последовательность значений функции, определенных для целочисленных аргументов, т.е. а_n = f(n), где n = 1, 2, 3. Всякая функция f(x), определенная на интервале (1, ), порождает свою числовую последовательность.

Предел числовой последовательности а_n – число а, такое, что с ростом n разность между числом и членом последовательности становится меньше любого другого наперед заданного числа, тогда а = lim а_n.

30. Определение бесконечно малой величины, предельного процесса, предела функции

Бесконечно малая величина – величина х, если она стремиться к нулю, делается меньше любого наперед заданного числа, но 0 так и не достигает. Процесс изменения б.м.в. называется предельным процессом.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

31. Доказательства лемм о бесконечно малых, сравнение бесконечно малых.

Леммы о бесконечно малых.

Лемма 1: алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых при х  а является бесконечно малой.

Лемма 2: произведение ограниченной в окрестности точки а функции на бесконечно малую при х  а является бесконечно малой.

Сравнение бесконечно малых.

Пусть при х  а а(х) и в(х) – бесконечно малые, тогда:

• если lim (в/а) = 0, то в – бесконечно малая высш. порядка, чем а.

• если lim (в/аⁿ) ≠ 0, то в – бесконечно малая n-порядка, чем а.

если lim (в/а) = 1, то а и в – эквивалентные бесконечно малые.

32. Доказательства теорем о пределах

Теоремы о пределах:

• lim с = с, если с – const, предел постоянной величины равен этой величине;

• lim (х + у – z) = lim x + lim y – lim z, предел алгебраической суммы нескольких слагаемых равен алгебраической сумме пределов каждого из них;

• lim ху = lim х lim у, предел произведения нескольких сомножи-телей равен произведению пределов каждого из них;

• lim х/у = lim х / lim у, предел дроби равен пределу числителя, деленному на предел знаменателя, если знаменатель не равен 0;

• lim сf(x) = c lim f(х), если с – const, постоянную величину можно вынести за знак предела;

• lim хⁿ = (lim x)ⁿ:

• lim ⁿx = ⁿlim x.

33. Три определения непрерывности функции в точке. Свойства непрерывных функций.

Пусть функция   определена на некотором интервале  , для которого   -- внутренняя точка. Функция   называется непрерывной в точке  , если существует предел   при   и этот предел равен значению  , то есть

Пусть функция   определена на некотором полуинтервале  , для которого   -- левый конец. Функция   называется непрерывной справа в точке  , если существует предел  при   и этот предел равен значению  , то есть

Пусть, наконец, функция   определена на некотором полуинтервале  , для которого   -- правый конец. Функция   называется непрерывной слева в точке  , если существует предел   при   и этот предел равен значению  , то есть

• Функция, непрерывная в точке  , является ограниченной в некоторой окрестности этой точки.

• Если функция   непрерывна в точке   и   (или  ), то   (или  ) для всех  , достаточно близких к  .

• Если функции   и   непрерывны в точке  , то функции   и   тоже непрерывны в точке  .

• Если функции   и   непрерывны в точке   и при этом  , то функция   тоже непрерывна в точке  .

• Если функция   непрерывна в точке   и функция   непрерывна в точке  , то их композиция   непрерывна в точке  .

34. Вывод замечательного предела lim sinx/x=1 при x->0

lim Sinx / x = 1, при х 0 Имеем окружность R = 1 и касательные AD, BD. Из прямоугольных ОАС и ОАD следует: Sin x = AC/1, tg x = AD/1. Точки А и В соединяют три линии: прямая АВ = 2АС = 2 Sin x, дуга АВ = 2х и ломанная ФВИ = 2АD = 2tgx. Из соотношения длин этих линий следует: 2Sinx < 2x < 2tgx. Значит, 1 < x/Sinx < 1/Cosx, 1 > Sinx/x > Cosx. При переходе в неравенстве к пределу х0 имеем lim Cosx =1, 1  lim Sinx/x  1, следовательно, lim Sinx/x = 1.

35. Натуральное число е. Вывод замечательного предела lim(1+x)^(1/x)=e при x->0

Натуральное число – основание логарифма, приводящее к высшей степени симметрии графиков показательной и логарифмической функций. Обозначается е = 2,72…

Доказательство:

Для любого значения   найдется такое натуральное  ,что будет выполняться неравенство:

Будем пользоваться свойствами степенной и показательной функции.

Примем теорему о сжатой переменной…ч.т.д.

Доказательство:

Ч.Т.Д.

Формулы (11) и (12) записываются в виде однообразной формулы.