16. Расстояние от точки до прямой, пересечение прямых . Вывод формул.

Расстояние от точки до прямой — равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на прямую.

Если s= {m; n; p}- направляющий вектор прямой l, M₁(x₁, y₁, z₁) - точка лежащей на прямой, тогда расстояние от точки M₀(x₀, y₀, z₀) до прямой l  можно найти, используя формулу

d =	|M0M1×s|
	|s|

Вывод формулы Если задано уравнение прямой l то несложно найти s = {m; n; p} - направляющий вектор прямой и M₁(x₁, y₁, z₁) - координаты точки лежащей на этой прямой. Из свойств векторного произведения известно, что модуль векторного произведения векторов равен площади параллелограмма построенного на этих векторах  S = |M₀M₁×s|.

С другой стороны площадь параллелограмма равна произведению его стороны на высоту проведенную к этой стороне S = |s|d. В нашем случае высота будет равна расстоянию от точки до плоскости d, а сторона параллелограмма равна модулю направляющего вектора s. Приравняв площади несложно получить формулу расстояния от точки до прямой.

Пересечение прямых.

Для разыскания точки пересечения прямых

А1 х+ В1 у+ С1= 0

и

А2 х+ В2 у+ С2= 0

надо решить систему уравнений

A1 x+ B1 y+ C1= 0 A1 x+ B1 y+ C1= 0

Эта система, как правило, дает единственное решение, и мы получим искомую точку.

Исключение возможно лишь при равенстве отношений

т.е. в случае параллельности данных прямых.

17. Эллипс. Вывод канонического уравнения

Эллипсом называется геометрическое место всех точек плоскости, сумма расстояний от которых до до фокусов есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами. Пусть М (х;у) – произвольная точка эллипса. Т.к. MF₁ + MF₂ = 2a Т.к.  То получаем  Или 

18. Уравнение гиперболы и ее график.

Гиперболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, модуль разности расстояний от которых до двух заданных точек  F₁ и F₂ , называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная.

Уравнение гиперболы ( рис.1 ) :

Здесь начало координат является центром симметрии гиперболы, а оси координат – её осями симметрии.

Отрезок  F₁F₂ = 2 с ,  где   , называется фокусным расстоянием. Отрезок  AB = 2 a называется  действительной осью гиперболы, а отрезок  CD = 2 b –  мнимой осью гиперболы. Число  e = c / a ,  e > 1 называется эксцентриситетом гиперболы. Прямые   y =  ( b / a ) x называютсяасимптотами гиперболы.

 

Пусть  Р ( х₁ ,  у ₁ ) – точка гиперболы, тогда  уравнение касательной к гиперболе в данной точке имеет вид:

Условие касания прямой  y = m x + k  и гиперболы  х ² / a ²  –  у  ² / b ²  = 1 :

 

 

k ²  = m ² a ² – b ² .

19. Уравнение параболы и ее график.

Параболой ( рис.1 ) называется геометрическое место точек, равноудалённых  от заданной точки  F , называемой фокусом параболы, и данной прямой, не проходящей через эту точку и называемой директрисой параболы.

Уравнение параболы ( рис.1 ) :

 

y ² = 2 p x .

 

Здесь ось ОХ  является осью симметрии параболы.

 

Пусть  Р ( х₁ ,  у ₁ ) – точка параболы, тогда  уравнение касательной к параболе  в данной точке имеет вид:

 

у ₁ y  = p ( x +  х₁ ) .          

 

Условие касания прямой  y = m x + k  и параболы  y ² = 2 p x :

 

2 m k   = p .