10. Линейные действия над векторами в координатном представлении.

Линейные действия над векторами:

• сложение векторов означает сложение их координат;

• умножение вектора на число приводит к увеличению его координат на это число.

11. Скалярное произведение векторов. Опр., свойства , координатное представление

Скалярное произведение векторов а и в – число, равное произведению длин векторов на косинус угла между ними.

ав = |а| |в| Cos .

Свойства скалярного произведения:

• ав = ва (переместительный закон);

• а (в + с) = ав + ас (распределительный закон);

• если а || в, то ав = ав (т.к. Cos 0 = 1);

• если а  в, то ав = 0 (т.к. Cos 90 = 0);

Координатное представление скалярного представления:

вектора а = {а_x а_y а_z} и в = {в_x в_y в_z} разложим по ортам, перемножим скалярно ав = (а_xi а_yj а_zk)(в_xi в_yj в_zk), получим

ав = а_xв_x + а_yв_y + а_zв_z

Угол между векторами: Cos  = ав / |а| |в|.

Условие а || в: (коллинеарность) а = kв или а_x/в_x = а_y/в_y = а_z/в_z.

Условие а  в: ав = 0 или а_xв_x + а_yв_y + а_zв_z = 0.

12. Векторное произведение векторов. Опр., свойства , координатное представление

Векторное произведение векторов а и в – третий вектор, который:

• с  а, с  в;

• |с| = |а| |в| Sin ,  ≡ (а^в);

• векторы а, в, с образуют правую тройку, т.е. кратчайшее вращение от а к в идет против часовой стрелки при взгляде навстречу с. Обозначается с = а х в = [ав].

Свойства векторного произведения:

• а х в = -в х а (антипереместительный закон);

• к(а) х в = к(а х в) (сочетательный закон);

• а х (в + с) = а х в + а х с.

Координатное представление:

	i	j	k
а х в =	аx	аy	аz
	вx	вy	вz

13. Смешанное произведение векторов. Опр., свойства , координатное представление

Смешанное произведение трех векторов – сочетание векторного и скалярного произведений (а х в)с.

Свойства смешанного произведения:

• (а х в)с = а(в х с);

• авс = - вас;

• авс = вса = сав.

Координатное представление:

	аx	аy	аz
(а х в)с =	вx	вy	вz
	сx	сy	сz

14. Вывод уравнения окружности.

Вывод уравнения окружности:

• обозначим через М (х, у) произвольную точку линии;

• запишем равенством общее свойство всех точек линии;

• входящие в это равенство отрезки выразим через текущие координаты (х, у) точки М и другие параметры задачи.

1. Фигура окружность.

2. Общее свойство |ОМ| = R.

3. (х²+ у²) = R.

х²+ у² = R².

Уравнение окружности. Вывод:

• общее свойство точек окружности |СМ| = R;

• переход к координатной форме общего свойства

(х – а)² + (у – в)² = R, (х – а)² + (у – в)² = R².

15. Вывод всех форм уравнения прямой на плоскости

Уравнением линии называется соотношение y = f(x) между координатами точек, составляющих эту линию.

Отметим, что уравнение линии может быть выражено параметрическим способом, то есть каждая координата каждой точки выражается через некоторый независимый параметр t.

Характерный пример – траектория движущейся точки. В этом случае роль параметра играет время.

Уравнение прямой на плоскости.

Любая прямая на плоскости может быть задана уравнением первого порядка Ах + Ву + С = 0, причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т.е. А² + В²  0. Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. Уравнение прямой может быть представлено в различном виде в зависимости от каких – либо заданных начальных условий.

Уравнение прямой по точке и вектору нормали.

В декартовой прямоугольной системе координат вектор с компонентами (А, В) перпендикулярен прямой, заданной уравнением Ах + Ву + С = 0

Уравнение прямой, проходящей через две точки.

Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x_2, y₂, z₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:

; Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель. На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

; если х₁  х₂ и х = х₁, если х₁ = х₂.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

Уравнение прямой по точке и угловому коэффициенту.

Если общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0 привести к виду:

и обозначить , то полученное уравнение называется уравнением прямой с угловым коэффициентом k.

Уравнение прямой в отрезках.

Если в общем уравнении прямой Ах + Ву + С = 0 С  0, то, разделив на –С, получим: или , где

Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – координатой точки пересечения прямой с осью Оу