Логарифмическое дифференцирование . Дифференцирование неявной функции.
Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей:
Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.
Отсюда видно, что искомая производная равна
Дифференцирование неявных функций
Пусть
уравнение 
определяет 
как
неявную функцию от х.
а)
продифференцируем по х обе части
уравнения
,
получим уравнение первой степени
относительно 
;
б) из полученного уравнения выразим .
Пример:
.
Определение дифференциала функции. Его общие свойства
Дифференциалом
функции называется
линейная относительно 
часть
приращения функции. Она обозначается
как 
или 
.
Таким образом:
ТЕОРЕМА 1. Если
функция 
имеет
производную на множестве X,
то она непрерывна на этом множестве.
ТЕОРЕМА
2. Если 
и 
дифференцируемы
на множестве X,
то производная суммы (разности) функций
равна сумме (разности) их производных
(11.
1)
Производная произведения двух функций равна сумме произведений производной первой из них на вторую функцию, и первой функции на производную второй функции.
(11.
2)
Производная частного равна дроби, числитель которой есть разность произведений производной делимого на делитель и производной делителя на делимое, а знаменатель есть квадрат делителя.
(11.
3)
ТЕОРЕМА
3. Если
для функции
существует
обратная функция 
и
в рассматриваемой точке Х производная 
,
то обратная функция в соответствующей
точке дифференцируема, причем
ТЕОРЕМА
4. Если
функция 
дифференцируема
в точке T,
а функция
дифференцируема
в точке X,
то сложная функция 
дифференцируема
в точке T,
причем
Геометрический смысл дифференциала. Вывод
Дифференциал
функции в точке 
равен
приращению ординаты касательной,
проведенной к графику функции в этой
точке, соответствующему приращению
аргумента
.
Геометрический смысл дифференциала:
Пр
оведем
к графику функции 
в
точку 
касательную 
и
рассмотрим ординату этой касательной
для точки 
.
На рисунке
, 
.
Из прямоугольного треугольника 
имеем: 
,
т.е. 
.
Но, согласно геометрическому смыслу
производной, 
.
Поэтому 
или 
.
Это означает, что дифференциал
функции
в 
равен
приращению ординаты касательной к
графику функции в этой точке,
когда 
получает
приращение 
.
Приближенные вычисления:
Производные и дифференциалы высших порядков.
40 Вопрос такой же
Вывод условий монотонного изменения функций и теоремы Ферма.
Условие монотонности функции.
По производной функции можно судить о возростании (убывании) самой функции в данном промежутке.
Теорема1. Пусть функция определена на промежутке и имеет внутри него производную, а на концах (если они принадлежат X) сохраняет непрерывность. Для того чтобы f(x) была в X монотонно возрастающей (убывающей) в узком смысле, достаточно условие:
f¢(x)>0 (<0) внутри X.
Доказательство проведем для случая возрастания. Пусть же указанное для этого случая условие выполнено. Возьмем два значения x¢ и x¢¢ (x¢<x¢¢) из X, и к функции f(x) в промежутке [x¢, x¢¢] применим формулу Лагранжа:
f(x¢¢) – f(x¢) = f¢(c)(x¢¢ - x¢) (x¢<c<x¢¢).
Так как f¢(c)>0, то
f(x¢¢)>f(x¢),
и функция f(x) будет строго возрастающей.
На этот раз высказанное условие уже не является в полнлй мере необходимым. Утверждение теоремы сохраняет силу, например, и в том случае, если производная f¢(x) обращается в нуль в конечном числе точек, лежащих внутри промежутка X. В этом легко убедится если применить теорему в отдельности к каждой из частей, на которые основной промежуток разбивается упомянутыми точками.
|
|
|
|
Установленная связь между знаком производной и направлением изменения функции геометрически совершенно очевидна, если вспомнить, что производная представляет собой угловой коэффициент касательной к графику функции. Знак этого углового коэффициента показывает, наклонена ли касательная вверх или вниз, а с нею – идет ли вверх или вниз и сама кривая (рис. 1). В отдельных точках касательная при этом может оказаться и горизонтальной, что отвечает обращению производной в нуль.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема
Ферма. Пусть функция
определена
и непрерывна на промежутке 
и
в некоторой внутренней точке 
этого
промежутка достигает своего наибольшего
или наименьшего значения, если в этой
точке существует производная, то она
равна нулю: 
.
Доказательство
Пусть, для определенности, в точке функция достигает своего наибольшего.
По
условию теоремы эта точка внутренняя,
т.е. 
,
и поэтому к этой точке можно подойти и
слева и справа.
Пусть мы подходим к слева. Тогда
(т.к. 
-
наибольшее значение)
(т.к.
мы подходим слева)
Делая
предельный переход 
получим
Пусть мы подходим к точке справа. Тогда
(т.к. - наибольшее значение)
(т.к.
мы подходим слева)
Делая предельный переход получим
Совместить два полученных неравенства можно только в одном случае: . ч.т.д.