41. Вывод формул дифференцирования степенной, показательной логарифмической, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

Производная степенной функции.

Формула производной степенной функции имеет вид  , где показатель степени p– любое действительное число.

Докажем сначала формулу для натурального показателя степени, то есть, для p = 1, 2, 3, …

Будем пользоваться определением производной. Запишем предел отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

Для упрощения выражения в числителе обратимся к формуле бинома Ньютона:

Следовательно,

Этим доказана формула производной степенной функции для натурального показателя.

При доказательстве формулы для любого действительного p, отличного от нуля, воспользуемся логарифмической производной (не путайте с производной логарифмической функции). Для понимания процесса, рекомендуем сначала ознакомиться с производной логарифмической функции, а также разобраться с разделами теории производная неявно заданной функции и производная сложной функции.

Следует рассмотреть два случая: при положительных x и отрицательных x.

Сначала будем полагать  . В этом случае  . Выполним логарифмирование равенства   по основанию e и применим свойство логарифма:

Пришли к неявно заданной функции. Находим ее производную:

Осталось провести доказательство для отрицательных x.

Когда показатель p представляет собой четное число, то степенная функция определена и при , причем является четной (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). То есть,  . В этом случае   и также можно использовать доказательство через логарифмическую производную.

Когда показатель p представляет собой нечетное число, то степенная функция определена и при  , причем является нечетной. То есть,  . В этом случае   и логарифмическую производную использовать нельзя. Для доказательства формулы   в этом случае можно воспользоваться правилами дифференцирования и правилом нахождения производной сложной функции:

Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, для отрицательных x справедливо равенство  .

Таким образом, формула производной степенной функции доказана для любого действительного p.

Производная показательной функции.

Вывод формулы производной приведем на основе определения:

Пришли к неопределенности. Для ее раскрытия введем новую переменную  , причем   при  . Тогда  . В последнем переходе мы использовали формулу перехода к новому основанию логарифма.

Выполним подстановку в исходный предел:

Если вспомнить второй замечательный предел, то придем к формуле производной показательной функции:

Производная логарифмической функции.

Докажем формулу производной логарифмической функции для всех x из области определения и всех допустимых значениях основания a логарифма. По определению производной имеем:

Как Вы заметили, при доказательстве преобразования проводились с использованием свойств логарифма. Равенство   справедливо в силу второго замечательного предела.

Производные тригонометрических функций.

Для вывода формул производных тригонометрических функций нам придется вспомнить некоторые формулы тригонометрии, а также первый замечательный предел.

По определению производной для функции синуса имеем  .

Воспользуемся формулой разности синусов:

Осталось обратиться к первому замечательному пределу:

Таким образом, производная функции sin x есть cos x.

Абсолютно аналогично доказывается формула производной косинуса.

Следовательно, производная функции cos x есть –sin x.

Вывод формул таблицы производных для тангенса и котангенса проведем с использованием доказанных правил дифференцирования (производная дроби).

Для   обратной функцией является  . Тогда по формуле производной обратной функции получаем

Осталось провести преобразования.

Так как областью значений арксинуса является интервал  , то   (смотрите раздел основные элементарные функции, их свойства и графики). Поэтому  , а   не рассматриваем.

Следовательно,  . Областью определения производной арксинуса является промежуток (-1; 1).

Для арккосинуса все делается абсолютно аналогично:

Найдем производную арктангенса.

Для   обратной функцией является  .

Выразим арктангенс через арккосинус, чтобы упростить полученное выражение.

Пусть arctgx = z, тогда

Следовательно,

Схожим образом находится производная арккотангенса: