36. Общие правила раскрытия неопределенности

1. Неопределенность вида 0/0. Первое правило Лопиталя.

Если  = 0, то  , когда последний существует.

2. Неопределенность вида ∞/∞. Второе правило Лопиталя.

Если  = ∞, то  , когда последний существует.

4. Неопределенности вида 0 ⋅∞, ∞ - ∞, 1^∞ и 0⁰ сводятся к неопределенностям 0/0 и ∞/∞ путем алгебраических преобразований.

37. Определение средней скорости движения, мгновенной скорости, производной от функции. Алгебраичес1кий, физический , геометрический смысл производной.

Средняя скорость – отношение пройденного телом пути к затраченному времени.

V_ср = [S(t) – S(t₀)] / (t – t₀)

Мгновенная скорость – средняя скорость, взятая за бесконечно малый промежуток времени.

V_мг = lim [S(t) – S(t₀)] / (t – t₀), при t  t₀

Производная функции f(x) - предел lim [f(x) – f(x₀)] / (x – x₀) = f(x₀)

Производная – предел отношения приращения функции к приращению аргумента.

Алгебраический смысл: производная в точке х показывает, во сколько раз быстрее изменяется функция, чем аргумент в окрестностях этой точки, т.е. дает сравнение двух «точечных» параметров.

Физический смысл: скорость. Продифференцировать уравнение движения S = S(t) – значит определить мгновенную скорость тела в каждый момент времени t.

Геометрический смысл: тангенс угла наклона касательной.

38. Вывод формул для производных от сумм, произведения, частного двух функций

Теорема Если функции u=u(x) и v=v(x) имеют в точке x производные, то сумма (разность), произведение и частное этих функций также имеют производные в этой точке, и справедливы следующие формулы: 1) (u±v)/=u/±v/ , 2) (u·v)/=u/v+v/u , 3) (vu)=v2u/v−v/u .

Доказательство Из определения производной:

(u±v)/=limΔx→0Δx[u(x+Δx)±v(x+Δx)]−[u(x)±v(x)]= =limΔx→0Δx[u(x+Δx)−u(x)]±[v(x+Δx)−v(x)]=  .    

=limΔx→0Δxu(x+Δx)−u(x)±limΔx→0Δxv(x+Δx)−v(x)=u/±v/

(u·v)/=limΔx→0Δxu(x+Δx)·v(x+Δx)−u(x)·v(x)±v(x+Δx)·v(x)= limΔx→0Δxu(x+Δx)[v(x+Δx)−v(x)]+      

+limΔx→0Δxv(x)[u(x+Δx)−u(x)]=uv/+vu/.

(vu)/=limΔx→0Δxv(x+Δx)u(x+Δx)−v(x)u(x)=limΔx→0Δx·v(x+Δx)·v(x)u(x+Δx)·v(x)−u(x)·v(x+Δx)±u(x)·v(x)=v2u/v−v/u.

Теорема доказана.

 

39. Сложная функция. Правило ее дифференцирования

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

Формула нахождения производной сложной функции.

40. Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков

Пусть y = f(x) является дифференцируемой функцией. Тогда производная также представляет собой функцию от x. Если она является дифференцируемой функцией, то мы можем найти вторую производную функции f, которая обозначается в виде

Аналогично, если f '' существует и дифференцируема, мы можем вычислить третью производную функции f:

Производные более высокого порядка (если они существуют), определяются как

Для нахождения производных высшего порядка можно использовать следующие формулы:

В частности, для производной второго и третьего порядка формула Лейбница принимает вид

Дифференциалом n-го порядка функции f называется дифференциал от дифференциала (n - 1)-го порядка этой же функции. Таким образом,

dⁿf(x) = d(d^n-1f(x)),   d⁰f(x) = f(x),   n ϵ N.

Если x - независимая переменная, то

dx = const   и   d²x = d³x = ... = dⁿx = 0.

В этом случае справедлива формула

dⁿf(x) = f⁽ⁿ⁾(x)(dx)ⁿ.