§ 17. Электрическая емкость. Конденсаторы

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Электрическая емкость уединенного проводника

271

§ 17. Электрическая емкость. Конденсаторы

• Электрическая емкость цилиндрического конденсатора (два коак-сиальных цилиндра длиной / и радиусами Rx и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е)

С =

2тгее0/

• Электрическая емкость С последовательно соединенных конденса-торов:

в общем случае

1 ^ 1

где п — число конденсаторов; в случае двух конденсаторов

С =

где Q — заряд, сообщенный проводнику; tp — потенциал проводника.

• Электроемкость конденсатора

с = ^_,

где tpi — tp2 — разность потенциалов на обкладках конденсатора.

• Электрическая емкость уединенной проводящей сферы радиусом R,

находящейся в бесконечной среде с диэлектрической проницаемостью е,

С = 4тге0еЛ-

Если сфера полая и заполнена диэлектриком, то электроемкость ее от этого не изменяется.

• Электрическая емкость плоского конденсатора

„ ££oS

где 5 — площадь пластин (каждой пластины); d — расстояние между ними; е — диэлектрическая проницаемость диэлектрика, заполняющего пространство между пластинами.

Электрическая емкость плоского конденсатора, заполненного п сло-ями диэлектрика толщиной dt каждый с диэлектрическими проницаемо-стями ЕГ (слоистый конденсатор),

ео5

+ ... + dn/en'

• Электрическая емкость сферического конденсатора (две концен-трические сферы радиусами R\ и R2, пространство между которыми заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е)

в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью С\ каждый : О. &.

п

• Электрическая емкость параллельно соединенных конденсаторов: в общем случае

в случае двух конденсаторов

C = CV+C2; в случае п одинаковых конденсаторов с электроемкостью С\ каждый

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Определить электрическую емкость С плоского конден-сатора с двумя слоями диэлектриков: фарфора толщиной d\ = 2 мм и эбонита толщиной d2 — 1,5 мм, если площадь 5 пластин равна 100 см2.

Решение. Емкость конденсатора, по определению, С = Q/U, где Q — заряд на пластинах конденсатора; U — разность потенциалов пла-стин. Заменив в этом равенстве общую разность потенциалов U конден-сатора суммой Ui + U2 напряжений на слоях диэлектриков, получим

С =

С =

Q

(1)

272

и U-z =

Гл. 3. Электростатика

Приняв во внимание, что Q = aS, Ui = E\di =

= E2d2 = d2, равенство (1) можно переписать в виде

С= п ^ п . (2)

-d2

где a — поверхностная плотность заряда на пластинах; Е\ и Е2 — на-пряженности поля в первом и втором слоях диэлектрика соответственно; D — электрическое смещение поля в диэлектриках.

Умножив числитель и знаменатель равенства (2) на ео и учтя, что D — а, окончательно получим

Сделав вычисления по последней формуле, найдем 8,85 • 10~12 • 100 • 10~4 (Ф/м) • м2

С =

= 9,83 • КГ11 Ф = 98,3 пФ.

м

2•10-3/5 +1,5 -10-3/3

Пример 2. Два плоских конденсатора одинаковой электроемкости С\ = Сг = С соединены в батарею последовательно и подключены к источнику тока с электродвижущей силой Е. Как изменится разность потенциалов U\ на пластинах первого конденсатора, если пространство между пластинами второго конденсатора, не отключая источника тока, заполнить диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е = 7?

Решение. До заполнения второго конденсатора диэлектриком раз¬ность потенциалов на пластинах обоих конденсаторов была одинакова: Ui = U2 = Е/2. После заполнения электроемкость второго конденсатора возросла в е раз:

С2 = еС2 = еС.

Электроемкость первого не изменилась, т. е. С[ = С.

Так как источник тока не отключался, то общая разность потенциа¬лов на батарее конденсаторов осталась прежней, она лишь перераспре-делилась между конденсаторами. На первом конденсаторе

(3)

9--9.

где Q — заряд на пластинах конденсатора. Поскольку при последова-тельном соединении конденсаторов заряд на каждой пластине и на всей батарее одинаков, то

Q = &**£,

С[С2 СеС еС „, где Сбат = ^—^ = WT^ = ГТ7. Таким образом,