§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков

263

Решение. 1. Для определения электронной поляризуемости вос¬пользуемся формулой Лоренц-Лорентца:

откуда

М п2 -1 _ 1 р пА + 2 3

ЗМ(п2 - 1)

В полученное выражение входит молярная масса М бензола. Най¬дем ее. Так как химическая формула бензола СбНб, то относительная молекулярная масса Мт = 6 • 12 + 6 • 1 = 78. Следовательно, молярная масса М = 78 • 10~3 кг/моль.

Подставим в формулу (5) числовые значения физических величин и произведем вычисления:

= 3-78-10-3((1,50)2-1) кг/моль = 1 2? . 1Q-28 мз *

°е 899 • 6,02 • 1023 ((1,50)2 + 2) (кг/м3) - моль"1

2. Диэлектрическую пронипаемость паров бензола найдем, восполь-зовавшись уравнением Клаузиуса-Мосотти:

(6)

е-1

где п — конпентрация молекул бензола.

Заметим, что молекулы бензола неполярны и поэтому обладают толь¬ко двумя типами поляризации: электронной и атомной, — причем атом¬ная поляризация мала и ею можно пренебречь, считая а « ае. Кроме того, при нормальных условиях е мало отличается от единицы и при¬ближенно можно считать е + 2 « 3. Учитывая эти соображения, формулу (6) можно упростить:

е — 1 « аеп,

откуда

е = 1 + аеп.

При нормальных условиях концентрация п молекул известна и равна числу Лошмидта (пл = 2,69-1019см-3). Выразим концентрацию молекул бензола в СИ (п = 2,69 • 1025м~3) и произведем вычисления:

= 1,00342.

2,69 ■

е = 1 + 1,27 •

ЗАДАЧИ

Напряженность и потенциал поля диполя. Электрический момент диполя

16.1. Вычислить электрический момент р диполя, если его за¬ряд Q = ЮнКл, плечо I — 0,5 см.

16.2. Расстояние I между зарядами Q = ±3,2 нКл диполя равно

12 см. Найти напряженность Е и потенциал tp поля, созданного

диполем в точке, удаленной на г = 8см как от первого, так и от

второго заряда.

16.3. Диполь с электрическим моментом р = 0,12 нКл -м обра-

зован двумя точечными зарядами Q = ±1 нКл. Найти напря¬

женность Е и потенциал tp электрического поля в точках А и

В (рис. 16.6), находящихся на расстоянии

г = 8 см от центра диполя.

'-«И

L

16.4. Определить напряженность Е и

потенциал tp поля, созданного диполем в

точках А и В (рис. 16.6). Его электриче¬

ский момент р — 10~12 Кл • м, а расстояние

г от точек А и В до центра диполя равно

10 см.

16.5. Определить напряженность Е и по- Рис. 16.6

тенциал tp поля, создаваемого диполем с элек¬

трическим моментом р = 4 • 10~ Кл • м на расстоянии г = 10 см

от центра диполя, в направлении, составляющем угол a = 60° вектором электрического момента.

16.6. Диполь с электрическим моментом р = 10~12 Кл • м рав¬

номерно вращается с частотой п = 103c-1 относительно оси,

проходящей через центр диполя и перпендикулярной его плечу.

Вывести закон изменения потенциала как функцию времени в не¬

которой точке, отстоящей от центра диполя на г = 1 см и лежащей

в плоскости вращения диполя. Принять, что в начальный момент

времени потенциал tpo интересующей нас точки равен нулю. По-

строить график зависимости <p(t).

16.7. Диполь с электрическим моментом р = 10~12 Кл • м рав¬

номерно вращается с угловой скоростью ш = 104 рад/с относи¬

тельно оси, перпендикулярной плечу диполя и проходящей через

его центр. Определить среднюю потенциальную энергию (П) за¬

ряда Q — 1нКл, находящегося на расстоянии г = 2 см от центра

диполя и лежащего в плоскости вращения, за время, равное: 1) по¬

лупериоду (от t\ = 0 до *2 == Т/2); 2) в течение времени t > Т.

В начальный момент считать П = 0.

16.8. Два диполя- с электрическими моментами р\ —10~12 Кл • м

и Р2 = 4 • 10~12Кл-м находятся на расстоянии г = 2 см друг от

друга. Найти силу их взаимодействия, если оси диполей лежат на

одной прямой.

16.9. Два диполя с электрическими моментами р\ = 2 х

х 10~иКл-м и р2 — 5 • 10~пКл-м находятся на расстоянии

г = 10 см друг от друга, так что их оси лежат на одной прямой.

Вычислить взаимную потенциальную энергию диполей, соответ¬

ствующую их устойчивому равновесию.

Гл. 3. Электростатика

264

Диполь в электрическом поле

16.10. Диполь с электрическим моментом р = 10~10 Кл • м при-креплен к упругой нити (рис. 16.7). Когда в пространстве, где на-ходится диполь, было создано элек- трическое поле напряженностью Е — = 3 кВ/м перпендикулярно плечу ди¬поля и нити, диполь повернулся на угол a — 30°. Определить постоян-ную кручения8) С нити.

Рис. 16.7

16.11. В условиях предыдущей

задачи диполь под действием поля

поворачивается на малый угол. Опре¬

делить постоянную кручения С нити.

16.12. Диполь с электрическим

моментом р = 20 нКл - м находится

в однородном электрическом поле напряженностью Е — 50кВ/м. Вектор электрического момента составляет угол а = 60° с лини-ями поля. Какова потенциальная энергия П диполя?

Указание. За нулевую потенциальную энергию принять энергию, соответствующую такому расположению диполя, когда вектор электри¬ческого момента диполя перпендикулярен линиям поля.

16.13. Диполь с электрическим моментом р = 1СР10Кл-м сво¬

бодно устанавливается в однородном электрическом поле напря-

женностью Е — 150кВ/м. Вычислить работу Л, необходимую для

того, чтобы повернуть диполь на угол a = 180°.

16.14. Диполь с электрическим моментом р = 1СР10 Кл • м сво¬

бодно установился в однородном электрическом поле напряженно¬

стью Е = 10 кВ/м. Определить изменение потенциальной энергии

АП диполя при повороте его на угол a = 60°.

16.15. Перпендикулярно плечу диполя с электрическим момен¬

том р = 1,2 • 10~пКл-м возбуждено однородное электрическое

поле напряженностью Е — ЗООкВ/м. Под действием сил поля

диполь начинает поворачиваться относительно оси, проходящей

через его центр. Найти угловую скорость ш диполя в момент про¬

хождения им положения равновесия. Момент инерции J диполя

относительно оси, перпендикулярной плечу и проходящей через

его центр, равен 2 • 10~9 кг • м2.

16.16. Диполь с электрическим моментом р = 10~10 Кл • м сво-

бодно установился в однородном электрическом поле напряженно¬

стью Е = 9МВ/м. Диполь повернули на малый угол и предоста¬

вили самому себе. Определить частоту v собственных колебаний

8) Постоянной кручения называют величину, равную моменту гилы, который вызывает закручивание нити на 1 рад.