§ 16. Электрический диполь. Свойства диэлектриков

257

• Сила Fx, действующая на диполь в неоднородном электростатиче-ском поле, обладающем осевой (вдоль оси Ох) симметрией,

дЕ

Fx = р—cosa, дх

дЕ

где величина, характеризующая степень неоднородности электро¬

да

статического поля вдоль оси Ox; a — угол между векторами р и Е.

• Поляризованность (вектор поляризации) однородно поляризован-ного диэлектрика

• Формула Лоренц-Лорентца п2-1

М п2 - 1 1

п' + 2 = ЗаеП' ИЛИ 7"п2 + 2-3—л'

где п — показатель преломления диэлектрика; ае — электронная поля-ризуемость атома или молекулы.

• Ориентационная поляризуемость молекулы

1=]

где pi — электрический дипольный момент отдельной (г-й) молекулы; N — число молекул, содержащихся в объеме AV.

• Связь поляризованности с напряженностью Е среднего макроско¬

пического поля в диэлектрике

Р = хе0Е, или Р = (е - 1)е0Е,

где х — диэлектрическая восприимчивость; ео — электрическая посто-янная; е — диэлектрическая проницаемость.

• Напряженность Е среднего макроскопического поля в диэлектрике

связана с напряженностью Ео внешнего поля соотношениями

р_^ и р_р Р

JCJ — И Л/ — И/о •

е ео

• Напряженность Елок локального поля для неполярных жидкостей

и кристаллов кубической сингонии выражается формулами

IP е+2 е+2

Елок-Е + зГ0 и Елок-~ГЕ-~зГЕ°-

• Индуцированный электрический момент молекулы

р = ае0Елок,

где а — поляризуемость молекулы (а = ае + аа, где ае — электронная поляризуемость; аа — атомная поляризуемость).

• Связь диэлектрической восприимчивости х с поляризуемостью мо¬

лекулы а

х 1

= -an,

х+3 3 '

где п — концентрация молекул.

• Уравнение Клаузиуса-Мосотти

е-1 1 Ме-1 1

= -an, или = —

е+2 3 ре+2 3

где М — молярная масса вещества; р — плотность вещества.

гаер — электрический момент молекулы7); к — постоянная Больцмана; Т — термодинамическая температура. • Формула Дебая-Ланжевена

е ~ 1

р2

Р2

Ме-1

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Диполь с электрическим моментом р = 2нКл-м нахо¬дится в однородном электрическом поле напряженностью Е = ЗОкВ/м. Вектор р составляет угол ао = 60° с направлением силовых линий поля. Определить произведенную внешними силами работу А поворота диполя на угол Р = 30°.

Решение. Из исходного положения (рис. 16.2а) диполь можно по-вернуть на угол /3 = 30° = 7г/6 двумя способами: или по часовой стрелке

Z

е

Рис. 16.2

до угла ai = ао — 0 = 7г/3 — 7г/6 = 7г/6 (рис. 16.26), или против часовой стрелки до угла а2 = ао + 0 = 7г/3 + 7г/6 = 7г/2 (рис 16.2в).

В первом случае диполь будет поворачиваться под действием сил поля. Следовательно, работа внешних сил при этом отрицательна. Во втором случае поворот может быть произведен только под действием внешних сил и, следовательно, работа внешних сил при этом положи¬тельна.

7) Электрический дипольный момент молекулы принято выражать в единицах атомного масштаба — дебай 1 дебай (D) = 3,33 - 1(Р30 Кл • м.

258

Гл. 3. Электростатика

Работу, совершаемую при повороте диполя, можно вычислить двумя способами: 1) непосредственно интегрированием выражения элементар-ной работы; 2) с помощью соотношения между работой и изменением потенциальной энергии диполя в электрическом поле.

1-й способ. Элементарная работа при повороте диполя на угол a

d-A = М da = рЕ sin a da, а полная работа при повороте на угол от с*о ДО a

a a

sin a da.

= / рЕ sin a da = pE /

Произведя интегрирование, получим

А = -pE(c.osa — cosao) = pE(cosa0 - cos a). (Г)

Работа внешних сил при повороте диполя по часовой стрелке

Ai = pE(cosao — cosai) — —21,9 мкДж, против часовой стрелки

Л2 = pjE(cosao - COSQ2) = 30 мкДж.

2-й способ. Работа А внешних сил связана с изменением потенци¬альной энергии ДП соотношением

А = ДП = П2-П1,

где 111 и Пг — потенциальные энергии системы соответственно в началь-ном и конечном состояниях. Так как потенциальная энергия диполя в электрическом поле выражается формулой П = — pEcosa, то

(2)

А = pE(cos ao — cos a),

что совпадает с формулой (1), полученной первым способом.

Пример 2. Три точечных заряда Q\, Qi и Q3 образуют элек-трически нейтральную систему, причем Q\ = Qi = ЮнКл. Заряды расположены в вершинах равностороннего треугольника. Определить максимальные значения напряженности Етах и потенциала v?max поля, создаваемого этой системой зарядов, на расстоянии г = 1м от центра треугольника, длина о стороны которого равна 10 см.

Решение. Нейтральную систему, состоящую из трех точечных за¬рядов, можно представить в виде диполя. Действительно, «центр тяже¬сти» зарядов Qi и Q2 лежит на середине отрезка прямой, соединяющей эти заряды (рис. 16.3). В этой точке можно считать сосредоточенным заряд Q = Qi + Q2 — 2Q\. А так как система зарядов нейтральная (Qi + Q2 + <Эз = 0), то