§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 243 Выполнив вычисления по полученной формуле, найдем v0 - 2,35 • 106 м/с.

Пример 8. Электрон без начальной скорости прошел разность по-тенциалов Г/о = 10 кВ и влетел в пространство между пластинами плос-кого конденсатора, заряженного до разности потенциалов U\ = 100 В, по линии АВ, параллельной пластинам (рис. 15.4). Расстояние d между

Анод

Катод

Экран

Рис. 15.4

пластинами равно 2 см. Длина /] пластин конденсатора в направлении полета электрона равна 20 см. Определить расстояние ВС на экране Р, отстоящем от конденсатора на /2 — 1 м.

Решение. Движение электрона внутри конденсатора складывается из двух движений: 1) по инерции вдоль линии АВ с постоянной скоро¬стью vo, приобретенной под действием разности потенциалов Щ, которую электрон прошел до конденсатора; 2) равномерно ускоренного движения в вертикальном направлении к положительно заряженной пластине под действием постоянной силы поля конденсатора. По выходе из конденса-тора электрон будет двигаться равномерно со скоростью v, которую он имел в точке М в момент вылета из конденсатора.

Из рис. 15.4 видно, что искомое расстояние \ВС\ — h\ + h2, где hi — расстояние, на которое сместится электрон в вертикальном направлении во время движения в конденсаторе; h2 — расстояние между точкой D на экране, в которую электрон попал бы, двигаясь по выходе из конден¬сатора по направлению начальной скорости vo, и точкой С, в которую электрон попадет в действительности.

Выразим отдельно hi и h2.

Пользуясь формулой длины для пути равномерно ускоренного дви-жения, найдем

at2

(17)

П2 =

С учетом равенств (15) и (16) формула (14) примет вид

-, откуда v0 —

(16)

где a — ускорение, полученное электроном под действием поля конден¬сатора; t — время полета электрона внутри конденсатора.

По второму закону Ньютона a = F/m, где F — сила, с которой поле действует на электрон; m — его масса. В свою очередь, F = еЕ = eUi/d, где е — заряд электрона; U\ — разность потенциалов между пластинами конденсатора; d — расстояние между ними. 17*

244

Гл.З. Электростатика

Время полета электрона внутри конденсатора найдем из формулы пути равномерного движения h = vot, откуда

. h

v

2eU0

где h — длина конденсатора. Выражение скорости vo найдем из условия равенства работы, совершенной полем при перемещении электрона, и приобретенной им кинетической энергии: ТПУЦ2 — еЩ- Отсюда

(18)

2

v =

Подставляя в формулу (17) последовательно значения a, F,tu v% из соответствующих выражений, получим

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 245

ЗАДАЧИ

Потенциальная энергия и потенциал поля точечных зарядов

15.1. Точечный заряд Q = 10 нКл, находясь в некоторой точке

поля, обладает потенциальной энергией П = ЮмкДж. Найти по¬

тенциал ip этой точки поля.

15.2. При перемещении заряда Q = 20нКл между двумя точ¬

ками поля внешними силами была совершена работа А = 4 мкДж.

Определить работу А\ сил поля и разность Ду? потенциалов этих

точек поля.

15.3. Электрическое поле создано точечным положительным за¬

рядом Qi = 6 нКл. Положительный заряд Qi переносится из точки

А этого поля в точку В (рис. 15.5). Каково изменение потенциаль-

ной энергии ДП, приходящееся на единицу переносимого заряда,

если г\ = 20 см и ri — 50 см?

Длину отрезка h2 найдем из подобия треугольников MDC и вектор¬ного:

А _

в

г, У

"2 = ,

v

(19)

Рис. 15.5

Рис. 15.6

где vi — скорость электрона в вертикальном направлении в точке М; h — расстояние от конденсатора до экрана.

Скорость vi найдем по формуле vi = at, которая с учетом выражений для a, F и t примет вид

_

или,

Подставив выражение Vi в формулу (19), получим п2 = заменив VQ ПО формуле (18), найдем

'- 2dU0 Окончательно для искомого расстояния \ВС\ будем иметь

Подставив значения величин U\, UQ, d, l\ и /г в последнее выражение и произведя вычисления, получим

\ВС\ = 5,5 см.

15.4. Электрическое поле создано точечным зарядом Q\ =

= 50нКл. Не пользуясь понятием потенциала, вычислить работу

А внешних сил по перемещению точечного заряда фг = — 2нКл

из точки С в точку В (рис. 15.6), если гг = 10 см, г2 = 20 см.

Определить также изменение ДП потенциальной энергии системы

зарядов.

15.5. Поле создано точечным зарядом Q = 1 нКл. Определить

потенциал <р поля в точке, удаленной от заряда на расстояние г =

= 20см.

15.6. Определить потенциал tp электрического поля в точке,

удаленной от зарядов Qi = —0,2мкКл и <5г — 0,5мкКл соответ¬

ственно на г\ = 15 см и гг = 25 см. Определить также минималь¬

ное и максимальное расстояния между зарядами, при которых

возможно решение. '

15.7. Заряды Qi = 1мкКл и Q2 = — 1мкКл находятся на рас¬

стоянии d = 10 см. Определить напряженность Е и потенциал tp

поля в точке, удаленной на расстояние г = 10 см от первого заряда

и лежащей на линии, проходящей через первый заряд перпенди¬

кулярно направлению от Qi к фг-

15.8. Вычислить потенциальную энергию П системы двух то¬

чечных зарядов Q\ = 100 нКл и фг — ЮнКл, находящихся на

расстоянии d— 10 см друг от друга.

246

Гл. 3. Электростатика

15.9. Найти потенциальную энергию П системы трех точечных

зарядов Q\ = ЮнКл, Qi = 20нКл и фз = —ЗОнКл, расположен¬

ных в вершинах равностороннего треугольника со стороной дли¬

ной a = 10 см.

15.10. Какова потенциальная энергия П системы четырех оди¬

наковых точечных зарядов Q = 10 нКл, расположенных в верши¬

нах квадрата со стороной длиной a = 10 см?

15.11. Определить потенциальную энергию П системы четырех

точечных зарядов, расположенных в вершинах квадрата со сторо¬

ной длиной a = 10см. Заряды одинаковы по модулю Q = ЮнКл,

но два из них отрицательны. Рассмотреть два возможных случая

расположения зарядов.

15.12. Поле создано двумя точечными зарядами +2Q и — Q, на¬

ходящимися на расстоянии d — 12 см друг от друга. Определить

геометрическое место точек на плоскости, для которых потенциал равен нулю (напи¬сать уравнение линии нулевого потенци¬ала).

Рис. 15.7

15.13. Система состоит из трех заря¬дов — двух одинаковых по величине Q\ = = |Q2| = 103нКл и противоположных по знаку и заряда Q — 20нКл, расположен¬ного в точке 1 посередине между двумя дру¬гими зарядами системы (рис. 15.7). Определить изменение потен¬циальной энергии ДП системы при переносе заряда Q из точки 1 в точку 2. Эти точки удалены от отрицательного заряда Qi на расстояние a = 0,2 м.

Потенциал поля линейно распределенных зарядов

15.14. По тонкому кольцу радиусом Д = 10 см равномерно рас¬

пределен заряд с линейной плотностью т = 10нКл/м. Опреде-

, лить потенциал <р в точке, лежащей на оси кольца, на расстоянии а = 5 см от центра.

15.15. На отрезке тонкого прямого проводника равномерно рас¬

пределен заряд с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Вычислить

потенциал <р, создаваемый этим зарядом в точке, расположенной

на оси проводника и удаленной от ближайшего конца отрезка на

расстояние, равное длине этого отрезка.

15.16. Тонкий стержень длиной I = 10 см несет равномерно

распределенный заряд Q = 1 нКл. Определить потенциал ц> элек¬

трического поля в точке, лежащей на оси стержня на расстоянии

а = 20 см от ближайшего его конца.

15.17. Тонкие стержни образуют квадрат со стороной длиной а.

Стержни заряжены с линейной плотностью т = 1,33 нКл/м. Найти

потенциал tp в центре квадрата.