§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 241

каждом из них, можно рассматривать как точечный и тогда формула (10) будет справедлива. Применив эту формулу, получим

(11)

dip =

rdl

47Г£0г'

где г — расстояние от точки, в которой определяется потенциал, до эле-мента стержня.

«d/. 1

Рис. 15.3

Из рис. 15.3 следует, что d/ = . Подставив это выражение d/ в

v cos a

формулу (11), найдем

г da

47Г£о cos a

/da , /а тг\ „

=lntg - + - +С

cosa \2 4/

Так как

(см. табл. 2), то

_2т_

¥> =

47Г£о

Подставляя пределы интегрирования, получим

2т

Сделав вычисления по этой формуле, найдем

ip = 990 В.

Пример 6. Электрон со скоростью v = 1,83 ■ 106м/с влетел в од¬нородное электрическое поле в направлении, противоположном вектору напряженности поля. Какую разность потенциалов U должен пройти электрон, чтобы обладать энергией Ei = 13,6 эВ 5)? (Обладая такой энер-гией, электрон при столкновении с атомом водорода может ионизировать его. Энергия 13,6 эВ называется энергией ионизации водорода.)

Решение. Электрон должен пройти такую разность потенциалов U, чтобы приобретенная при этом энергия W в сумме с кинетической энергией Т, которой обладал электрон перед вхождением в поле, соста¬вила энергию, равную энергии ионизации Ei, т.е. W + T = Ei. Выразив

2 2

в этой формуле W = eU и Т = —г—, получим eU Н—— = Ei. Отсюда

Интегрируя полученное выражение в пределах от c*i до а2, получим потенциал, создаваемый всем зарядом, распределенным на стержне:

U =

2Ej - mv2 2е

Ч>

Q2 <*2

Г rda т_ Г

J 47Г£0 COS а 47Г£0 J

da

cos a

Произведем вычисления в единицах СИ:

U = 4,15 В.

В силу симметрии расположения точки А относительно концов стержня имеем о2 = Qi и поэтому

cos a

cos a

Следовательно,

Г J

Ъ

da

47Г£о J cos a о

Пример 7. Определить начальную скорость vo сближения прото¬нов, находящихся на достаточно большом расстоянии друг от друга, если минимальное расстояние rmin> на которое они могут сблизиться, равно Ю-11 см.

Решение. Между двумя протонами действуют силы отталкивания, вследствие чего движение протонов будет замедленным. Поэтому задачу можно решить как в инерциальной системе координат (связанной с цен-тром масс двух протонов), так и в неинерциальной (связанной с одним из ускоренно движущихся протонов). Во втором случае законы Ньютона

5) Электрон-вольт (эВ) — энергия, которую приобретает частица, имеющая элементарный заряд (заряд электрона), прошедшая разность потенциалов 1В.

17 Зак. 237

'

242

Гл.З. Электростатика

не имеют места. Применение же принципа Даламбера затруднительно из-за того, что ускорение системы будет переменным. Поэтому удобно рассмотреть задачу в инерциальной системе отсчета.

Поместим начало координат в центр масс двух протонов. Поскольку мы имеем дело с одинаковыми частицами, то центр масс будет нахо¬диться в точке, делящей пополам отрезок, соединяющий частицы. От¬носительно центра масс частицы будут иметь в любой момент времени одинаковые по модулю скорости. Когда частицы находятся на доста¬точно большом расстоянии друг от друга, скорость v\ каждой частицы равна половине VQ, т.е. v\ = г>о/2.

Для решения задачи применим закон сохранения энергии, согласно которому полная механическая энергия Е изолированной системы по-стоянна, т. е.

Е

где Т — сумма кинетических энергий обоих протонов относительно цен¬тра масс; П — потенциальная энергия системы зарядов.

Выразим потенциальную энергию в начальный П] и конечный П2 моменты движения.

В начальный момент, согласно условию задачи, протоны находились на большом расстоянии, поэтому потенциальной энергией можно прене-бречь (111 — 0). Следовательно, для начального момента полная энергия будет равна кинетической энергии Т\ протонов, т. е.

Е = ТЪ (12)

В конечный момент, когда протоны максимально сблизятся, ско¬рость и кинетическая энергия равны нулю, а полная энергия будет равна потенциальной энергии П2, т.е.

Е = П2. (13)

Приравняв правые части равенств (12) и (13), получим

Ti = П2. (14)

Кинетическая энергия равна сумме кинетических энергий протонов:

(15)

Потенциальная энергия системы двух зарядов Qi и Q2, находящихся

в вакууме, определяется по формуле П = , где г — расстояние

Ажеог

между зарядами. Воспользовавшись этой формулой, получим