§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 237

где F — сила, действующая на заряд; Дг — модуль перемещения заряда Q из точки 1 в точку 2; a — угол между направлениями перемещения и

силы. Но F = QE = Q —. Подставив это выражение F в равенство (5), а также заметив, что Arcosa — I, получим

(6)

А = Q^l. £0

Таким образом, оба решения приводят к одному и тому же результату. Подставив в выражение (6) значения величин Q, а, е0 и I, найдем

А = 13,6 мкДж.

dE

Пример 3. По тонкой нити, изогнутой по дуге окружности радиусом R, равномерно распределен заряд с линейной плотностью т = 10 нКл/м. Определить напряженность Е и потенциал ip электрического поля, создаваемого таким распределенным зарядом в точке О, совпа¬дающей с центром кривизны дуги. Длина I нити составляет 1/3 длины окружности и равна 15 см.

- 15.2

Решение. Выберем оси координат так, чтобы начало координат совпадало с цен-тром кривизны дуги, а ось у была симме-трично расположена относительно концов дуги (рис. 15.2). На нити выделим элемент длины dl. Заряд dQ = rdl, находящийся на выделенном участке, можно считать то-чечным.

Определим напряженность электрического поля в точке О. Для этого найдем сначала напряженность dE поля, создаваемого зарядом dQ:

rdl г 'г1

где г — радиус-вектор, направленный от элемента dl к точке, напряжен-ность в которой вычисляется. Выразим вектор dE через проекции d^ и dEy на оси координат

dE = idEx+jdEy,

где i и j — единичные векторы направлений (орты). Напряженность Е найдем интегрированием:

2-й способ. Так как поле однородно, то сила, действующая на заряд Q, при его перемещении постоянна. Поэтому работу перемещения заряда из точки 1 в точку 2 можно подсчитать по формуле

А = FAr cos a,

(5)

238

Гл. 3. Электростатика

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 239

Интегрирование ведется вдоль дуги длины /. В силу симметрии интеграл

J dEx равен нулю. Тогда

i

(7)

cos в. Так как г = R = const и dl = R d6, то

где AEV — АЕ cos в =

E=.i

cos0d0.

Подставим найденное выражение dEy в (7) и, приняв во внимание сим-метричное расположение дуги относительно оси Оу, пределы интегриро-вания возьмем от 0 до 7г/3, а результат удвоим

тг/3

1"У3 |

cos0d0=j

2тпг0 R 1о

E=j4^/C

Пример 4. Электрическое поле создано длинным цилиндром ра¬диусом R = 1 см, равномерно заряженным с линейной плотностью т = — 20нКл/м. Определить разность потенциалов двух точек этого поля, находящихся на расстояниях ai = 0,5см йог = 2см от поверхности цилиндра, в средней его части.

Решение. Для определения разности потенциалов воспользуемся соотношением между напряженностью поля и изменением потенциала Е = — gradip. Для поля с осевой симметрией, каким является поле ци¬линдра, это соотношение можно записать в виде

dip

Е = — — , или dip = -Edr. dr

Интегрируя последнее выражение, найдем разность потенциалов двух точек, отстоящих на т\ и г2 от оси цилиндра:

Г2

Edr.

¥>2

(8)

- vi = - /

т\

Подставив указанные пределы и выразив R через длину дуги (3Z = 2-nR), получим

Так как цилиндр длинный и точки взяты вблизи его средней части, то для выражения напряженности поля можно воспользоваться формулой

Е = . Подставив это выражение Е в равенство (8), получим

Из этой формулы видно, что вектор Е совпадает с положительным на-правлением оси Оу. Подставив значение т и I в последнюю формулу и сделав вычисления, найдем

Е = 2,18 кВ/м.

Определим потенциал электрического поля в точке О. Найдем сна¬чала потенциал dip, создаваемый точечным зарядом dQ в точке О:

rdl

Заменим гнайи произведем интегрирование:

i

т1

4ire0R'

=^— [ dl = 4тпг0Д J

Так как I = 27гД/3, то

Ч> =

Произведя вычисления по этой формуле, получим

ip = 188B.

г2

[

г2

то

dr

Так как величины г2 и г\ входят в формулу в виде отношения, то их можно выразить в любых, но только одинаковых единицах:

гх = R + а\ = 1,5 см; ri = R + а2 = 3 см.

Подставив значения величин г, £о,г\ и т^ в формулу (9) и вычислив, найдем

Vi - Ч>2 = 250 В.

Пример 5. Электрическое поле создано тонким стержнем, несущим равномерно распределенный по длине заряд т — 0,1 мкКл/м. Определить потенциал <р поля в точке, удаленной от концов стержня на расстояние, равное длине стержня.'

Решение. Заряд, находящийся на стержне, нельзя считать точеч¬ным, поэтому непосредственно применить для вычисления потенциала формулу

»=«£?■ <10)

справедливую только для точечных зарядов, нельзя. Но если разбить стержень на элементарные отрезки dl, то заряд rdl, находящийся на

240

Гл. 3. Электростатика