§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 233

поля в пяти областях (I, II, III, IV, V). 2. Вычислить напряжен-ность ЕА поля в точке А с координатой х = 3d. 3. Построить график Е(х) в единицах d/

Рис. 4.32

Рис. 14.31

14.75*. Две бесконечные пластины толщиной d и 3d (d = 1 см) расположены параллельно друг другу на расстоянии равном d. На пластинах равномерно распределены заряды с объемными плот¬ностями 2р и — р (р = 20мкКл/м3) (рис. 14.32). 1. Используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции электри¬ческих полей, найти выражения для напряженности Е(х) элек¬трического поля в пяти областях (I, II, III, IV, V). 2. Вычислить напряженность ЕА поля в точке А с координатой х = 3d. 3. По¬строить график Е(х) в единицах d/

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов. Работа по перемещению заряда в поле

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Потенциал электростатического поля

П

Рис. 14.30

(рис. 14.30). Используя теорему Остроградского-Гаусса и прин¬цип суперпозиции полей, найти напряженность Е поля в точках Oi и А. Радиус R = 10 см.

14.74*. Две бесконечные пластины толщиной d и 3d (d — 1см) расположены параллельно друг другу на расстоянии равном d. На пластинах равномерно распределены заряды с объемными плотно¬стями —рир(р = 20мкКл/м3) (рис. 14.31). 1. Используя теорему Остроградского-Гаусса и принцип суперпозиции электрических по¬лей, найти выражения для напряженности Е(х) электрического

где П — потенциальная энергия точечного заряда, помещенного в данную точку поля, при условии, что его потенциальная энергия в бесконечности принята равной нулю.

• Потенциал электрического поля, создаваемый точечным зарядом Q на расстоянии г от заряда,

Q

• Потенциал электрического поля, создаваемого металлической, несу-щей заряд Q сферой радиусом R, на расстоянии г от центра сферы:

234

Гл. 3. Электростатика

внутри сферы (г < R)

Q

на поверхности сферы (г = R)

Q

§ 15. Потенциал. Энергия системы электрических зарядов 235

где у>] и ф2 — потенциалы точек двух эквипотенциальных поверхностей;

d — расстояние между этими поверхностями вдоль электрической сило¬вой линии.

• Работа, совершаемая электрическим полем при перемещении точеч-ного заряда Q из одной точки поля, имеющей потенциал <рх, в другую, имеющую потенциал у?2,

= Q I Etdl,

А — Q(ipi - ip2), или A

вне сферы (г > R)

V

Q

Во всех приведенных для потенциала заряженной сферы формулах е есть диэлектрическая проницаемость однородного безграничного ди-электрика, окружающего сферу.

• Потенциал электрического поля, созданного системой п точечных зарядов, в данной точке в соответствии с принципом суперпозиции элек-трических полей равен алгебраической сумме потенциалов ipi, tp2, ••■ ..., ipn, создаваемых отдельными точечными зарядами Qi, Q2, ■ ■■, Qn-

ч> =

• Энергия W взаимодействия системы точечных зарядов Qi, Q2,..., Qn определяется работой, которую эта система зарядов может совершить при удалении их относительно друг друга в бесконечность, и выражается формулой

где Ei — проекция вектора напряженности Е на направление перемеше-ния; dl — перемещение.

Р случае однородного поля последняя формула принимает вид

А = QEl cos a,

где I — перемещение; а — угол между направлениями вектора Е и перемещения 1.

• Циркуляция вектора напряженности электрического поля есть вели-чина, численно равная работе по перемещению единичного точечного положительного заряда вдоль замкнутого контура. Циркуляция выра-жается интегралом по замкнутому контуру § Ei dl, где Ei — проекция вектора напряженности Е в данной точке контура на направление каса-тельной к контуру в той же точке.

В случае электростатического поля циркуляция вектора напряженно-сти равна нулю:

Ei dl = 0.

2f=1

где ipi — потенциал поля, создаваемого всеми п — 1 зарядами (за ис-ключением г-го) в точке, где расположен заряд Qi.

• Потенциал связан с напряженностью электрического поля соотно-шением

Е = —grad ip.

В случае электрического поля, обладающего сферической симметрией, эта связь выражается формулой

или в скалярной форме

а в случае однородного поля, т. е. поля, напряженность которого в каждой точке его одинакова как по модулю, так и по направлению,

^ _ VI - Ч>2

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Положительные заряды Q\ = ЗмкКл и Q2 = 0,02мкКл находятся в вакууме на расстоянии т\ = 1,5 м друг от друга. Определить работу А', которую надо совершить, чтобы сблизить заряды до расстоя¬ния т2 = 1 м.

Решение. Положим, что первый заряд Q\ остается неподвижным, а второй Qi под действием внешних сил перемещается в поле, созванном зарядом Qi, приближаясь к нему с расстояния п = 1,5м до т2 = 1м.

Работа А' внешней силы по перемещению заряда Q из одной точки поля с потенциалом y>i в другую, потенциал которой <р2, равна по модулю и противоположна по знаку работе А сил поля по перемещению заряда между теми же точками:

А' = -А.

Работа А сил поля по перемещению заряда А = Q(ipi — ip2). Тогда работа А' внешних сил может быть записана в виде

(1)

А' = -Q(vi - V2) = Qivi ~ Vi)-

236

Гл. 3. Электростатика

Потенциалы точек начала и конца пути выразятся формулами

Ч>2 =

Подставляя выражения ^и^в формулу (1) и учитьшая, что для данного случая переносимый заряд Q = Q2, получим

л, _

(2)

Q1Q2

г2 п) '

Если учесть, что 1/(47г£о) = 9 ■ 109 м/Ф, то после подстановки зна¬чений величин в формулу (2) и вычисления найдем

А' = 180 мкДж.

Пример 2. Найти работу А поля по перемещению заряда Q = — ЮнКл из точки 1 в точку 2 (рис. 15.1), находящиеся между двумя раз-ноименно заряженными с поверхностной плотностью a = 0,4мкКл/м2 бесконечными параллельными плоскостями, расстояние I между кото¬рыми равно Зсм.

Решение. Возможны два способа решения задачи.

1-й способ. Работу сил поля по перемещению заряда Q из точки 1 поля с потенциалом y>i в точку 2 поля с потенциалом у?2 найдем по фор¬муле

(3)

А = Q(v>i - V*)-

+а

Для определения потенциалов в точках 1 и 2 проведем через эти точки эквипотенциальные поверхности I и П. Эти поверхности будут плоскостями, так как поле между двумя равномерно заряженными бес-конечными параллельными плоскостями од¬нородно. Для такого поля справедливо соот¬ношение

1

Vi - Ч>1 - El, (4)

II *> >

-a

где Е — напряженность поля; I — рассто¬яние между эквипотенциальными поверхно¬стями.

Рис. 15.1

Напряженность поля между параллель¬ными бесконечными разноименно заряжен¬ными плоскостями Е = а/во. Подставив это выражение Е в формулу (4) и затем выражение y>i — ip2 в формулу (3), получим

А = Q±l.