§ 14. Напряженность электрического поля

221

откуда

Подставив сюда выражение площади сферы, получим

3. В области III сферическую поверхность проведем радиусом Гз. Эта поверхность охватывает суммарный заряд Q\ + Q2. Следовательно, для нее уравнение, записанное на основе теоремы Остроградского-Гаусса,

будет иметь вид

Отсюда, использовав положения, примененные в первых двух случаях, найдем

Ея =

(15)

Q1 + Q2

4тгеог§

Убедимся в том, что правые части равенств (14) и (15) дают единицу напряженности электрического поля:

[Q] 1 Кл 1 Кл _

[ео][г2] ~ 1 Ф/м • 1 м2 ~ 1 Ф • 1 м ~ /М'

Выразим вСе величины в единицах СИ (Q\ = 10~9 Кл, Q2 = —0,5 х х 10~9 Кл, п = 0,09 м, г2 = 0,15 м, 1/(47ге0) = 9 • 109 м/Ф и произведем

вычисления:

Е, В/см 2500

1П~9

н

900 450

(0,09)2 = 1,11 • 103 В/м = 1,11 кВ/м;

(1 - 0,5) ■ 10

-9

= 9109

В/м = 200 В/м.

(0,15)2

о

R2

Рис. 14.8

4. Построим график Е(г). В обла¬сти I (г < Ri) напряженность Е = 0. В области II {R\ ^ г < Л2) напряжен¬ность .Е2(г) изменяется по закону 1/г2.

В точке г = Ri напряженность E2(Ri) = <3i/(47reo#i) = 2500В/м. В точке г = Д2 (г стремится к Д2 слева) £2(Д2) = Qi/^neoRl) = = 900В/м. В области III (г > Д2) £?зМ изменяется по закону 1/г2, причем в точке г = Д2 (г стремится к Д2 справа) £3(^2) = (<5i — IQ2I) х х (47reO'R2)~1 = 450В/м. Таким образом, функция Е(г) в точках г = .Ri и г = Д2 терпит разрыв. График зависимости Е(г) представлен на рис. 14.8.

ЗАДАЧИ

Напряженность поля точечных зарядов

14.1. Определить напряженность Е электрического поля, со¬

здаваемого точечным зарядом Q = ЮнКл на расстоянии г=10см

от него. Диэлектрик — масло.

14.2. Расстояние d между двумя точечными зарядами Q\ —

= +8нКл и Q2 = —5,ЗнКл равно 40 см. Вычислить напряжен¬

ность Е поля в точке, лежащей посередине между зарядами. Чему

будет равна напряженность, если второй заряд будет положитель¬

ным?

14.3. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами

Qi = ЮнКл и Q2 = —20нКл, находящимися на расстоянии d =

= 20 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке,

удаленной от первого заряда на г\ — 30 см и от второго на гг =

= 50 см.

14.4. Расстояние d между двумя точечными положительными

зарядами Q\ = 9Q и Q2 = Q равно 8 см. На каком расстоянии

г от первого заряда находится точка, в которой напряженность Е

поля зарядов равна нулю? Где находилась бы эта точка, если бы

второй заряд был отрицательным?

14.5. Два точечных заряда Q\ = 1Q и Q2 = —Q находятся на

расстоянии d друг от друга. Найти положение точки на прямой,

проходящей через эти заряды, напряженность Е поля в которой

равна нулю.

14.6. Электрическое поле создано двумя точечными зарядами

Qi = 40нКл и <3г = —ЮнКл, находящимися на расстоянии d =

= 10 см друг от друга. Определить напряженность Е поля в точке,

удаленной от первого заряда на г\ = 12 см и от второго на гг = 6 см.

Напряженность поля заряда, распределенного по кольцу и сфере

14.7. Тонкое кольцо радиусом R — 8 см несет заряд, равно¬

мерно распределенный с линейной плотностью т = 10нКл/м. Ка¬

кова напряженность Е электрического поля в точке, равноудален¬

ной от всех точек кольца на расстояние г = 10 см?

14.8. Полусфера несет заряд, равномерно распределенный с по¬

верхностной плотностью а = 1нКл/м2. Найти напряженность Е

электрического поля в геометрическом центре полусферы.

14.9. На металлической сфере радиусом R = 10 см находится

заряд Q = 1нКл. Определить напряженность Е электрического

поля в следующих точках: 1) на расстоянии г\ = 8 см от центра

сферы; 2) на ее поверхности; 3) на расстоянии гг = 15 см от центра

сферы. Построить график зависимости Е от г.

222

Гл. 3. Электростатика