§ 2. Динамика материальной точки я тела

25

Сила упругости4)

где к — коэффициент упругости (жесткость в случае пружины); х — абсолютная деформация.

ТП1ТП2

• Сила гравитационного взаимодействия4)

F = G

где G — гравитационная постоянная; mj и тпъ — массы взаимодейству-ющих тел, рассматриваемые как материальные точки; г — расстояние между ними.

• Сила трения скольжения

где ц — коэффициент трения скольжения; TV — сила нормального да-вления.

• Координаты центра масс системы материальных точек

) mizi

где тгц — масса t-й материальной точки; xt, г/j, Zi — ее координаты. • Закон сохранения импульса замкнутой системы

• Мгновенная мощность

N = ——, или 7V at

где dA — работа, совершаемая за промежуток времени At.

• Кинетическая энергия материальной точки (или тела), движущейся

поступательно,

2

или T=

• Потенциальная энергия тела и сила, действующая на тело в данной

точке поля, связаны соотношением

F = -gradll, или F = - 11— + j— 4- к— I ,

ь \ дх ду dzj

где i, j, k — единичные векторы (орты). В частном случае, когда поле сил обладает сферической симметрией (как, например, гравитационное),

_сШг dr r

• Потенциальная энергия упругодеформированного тела (сжатой или

растянутой пружины)

N

Pi = const, или у. miv« = const,

i=l t=l

где ./V — число материальных точек (или тел), входяших в систему.

• Работа, совершаемая постоянной силой,

АА = FAr, или АА = FArcosa,

где а — угол между направлениями векторов силы F и перемещения Дг.

• Работа, совершаемая переменной силой,

А= F(r) cos a dr,

L

где интегрирование ведется вдоль траектории, обозначаемой L. • Средняя мощность за интервал времени At

• Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух ма-териальных точек (или тел) массами тщ и тг, находящихся на рассто¬янии г друг от друга,

• Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы

тяжести,

П = mgh,

где h — высота тела над уровнем, принятым за нулевой для отсчета потенциальной энергии. Эта формула справедлива при условии h <& R, где R — радиус Земли.

• Закон сохранения энергии в механике выполняется в замкнутой

системе, в которой действуют только консервативные силы, и записыва¬

ется в виде

Т + П = const.

• Применяя законы сохранения энергии и импульса к прямому цен¬

тральному удару шаров, получаем формулу скорости абсолютно неупру¬

гих шаров после удара

4) Силы упругости и гравитационного взаимодействия более подробно рассмо¬трены в § 4.

и =

mi +

2 Зак. 237

26

Гл. 1. Физические основы механики

§ 2. Динамика материальной точки и тела

27

и формулы скорости абсолютно упругих шаров после удара:

_ vi (mi — m2) + 2m2v2 v2(m2 — mi) -

mi + m2 mi + m2

mc

где mi и m2 — массы шаров; v\ и г>2 — их скорости до удара. • Формула Циолковского

v = u In ■

mc — fit

где v — скорость ракеты в момент времени t, u — скорость истечения продуктов сгорания (газов), тпс — стартовая масса ракеты, у, — массо¬вый расход топлива.

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. К концам однородного стержня приложены две проти-воположно направленные силы: F\ — 40 Н и F2 — 100 Н (рис. 2.1а). Определить силу натяжения Т стержня в поперечном сечении, которое делит стержень на две части в отношении 1:2.

Решение. Если бы силы Fi и F2 были равны между собой, то сила натяжения в любом сечении стержня была бы одинаковой и равной си-

1/3

Рис. 2.1

лам, приложенным к конпам стержня. Стержень в этом случае находился бы в покое. Но так как сумма сил, действующих на стержень, отлична от нуля, то стержень будет двигаться с ускорением, величина и направление которого определяются по второму закону Ньютона: а = (Fi +'F2)/m, где m — масса стержня. Так как обе силы действуют вдоль прямой, то геометрическую сумму можно заменить алгебраической:

стержень однородный, то mi = m/3 и, следовательно,

a =

(2)

F2-T

m/3

Приравнивая правые части равенств (1) и (2) и выражая из полученного равенства силу натяжения Т, находим

_ „ Fo-F,

Подставив значения F2 и Fi, получим Т = 80 Н.

Пример 2. В лифте на пружинных весах находится тело массой тп = 10 кг (рис. 2.2а). Лифт движется с ускорением а = 2 м/с2. Опреде¬лить показания весов в двух случаях, когда ускорение лифта направлено: 1) вертикально вверх; 2) вертикально вниз.

1

ILLL

г— W

А

Решение. Определить показания весов — это значит найти вес гела Р, т. е. силу, с которой тело действует на пружину. Но эта сила, по

ft

Е 9 1 1

Рис. 2.2

третьему закону Ньютона, равна по модулю и противоположна по напра¬влению силе упругости N (силе реакции опоры), с которой пружина через посредство прикрепленной к ней чашки весов действует на тело, т. е.

a =

тп

(1)

или

P = N.

(3)

При ускоренном движении стержня силы натяжения в разных сече¬ниях различны. Для определения этих сил применим следующий прием: разделим стержень на две части в интересующем нас сечении и отбро¬сим одну из них, например, левую. Действие левой части на правую заменим силой натяжения Т (рис. 2.16). В результате действия раз¬ности сил F2 — Т оставшаяся правая часть стержня массой mi должна двигаться с ускорением о = (F2 — T)/mi, равным по величине и на¬правлению прежнему ускорению, выраженному формулой (3). Так как

Следовательно, задача определения показания весов сводится к нахожде¬нию реакции опоры N.

Задачу можно решать как в инерциальной, так и неинерциальной системе отсчета.

Решение в инерциальной системе отсчета. На тело действуют две силы: сила тяжести mg и сила N.

Направим ось z вертикально вверх и спроецируем на нее все силы, действующие на тело. Индекс г у проекций сил опустим, так как проек¬ции и сами силы совпадают по величине. Направление сил учтем знаком

2*

28

Гл. 1. Физические основы механики