§ 14. Напряженность электрического поля

217

Поле, создаваемое бесконечной заряженной линией, неоднородно. Его напряженность зависит от расстояния и определяется по формуле

Е2 = 7Г— ■ (6)

2тгеог v

Согласно принципу суперпозиции электрических полей, напряжен-ность поля в точке, где находится заряд Q, равна векторной сумме на-

Рис. 14.5

г- Так как векторы Ei и

пряженностей Ei и Е2 (рис. 14.5): Е = Ех + Ег взаимно перпендикулярны, то

Подставляя выражения Е\ и Е2 по формулам (5) и (6) в это равен¬ство, получим

. или

42 тг2г2

Теперь найдем силу F, действующую на заряд, подставив выражение Е в формулу (4):

(7)

о* +

2е0

Подставив значения величин тг, г, а и т в это выражение и вычислив, получим

о = 51°34'.

Пример 5. Точечный заряд Q = 25нКл находится в поле, создан¬ном прямым бесконечным цилиндром радиусом R — 1 см, равномерно заряженным с поверхностной плотностью a — 2 • 103нКл/м2. Опре¬делить силу, действующую на заряд, помещенный от оси цилиндра на расстоянии г — 10 см.

Решение. Сила, действующая на заряд Q, находящийся в поле,

(8)

= QE,

где Е — напряженность поля в точке, в которой находится заряд Q.

Как известно, напряженность поля бесконечно длинного равномерно заряженного цилиндра

тр

2тгеог'

где т — линейная плотность заряда.

Выразим линейную плотность т через поверхностную плотность ст. Для этого выделим элемент-цилиндра длиной I и выразим находящийся на нем заряд Qi двумя способами:

Qx = aS = a ■ 2тгШ и ft= т1.

Приравняв правые части этих равенств, получим т1 — 2irRla. После сокращения на I найдем т = 2irRa. С учетом этого формула (9) примет вид Е = Ra/(eor). Подставив это выражение в формулу (8), найдем искомую силу:

F =

(10)

QoR

Так как Rur входят в формулу в виде отношения, то они могут быть выражены в любых, но только одинаковых единицах. Выполнив вычисления по формуле (10), найдем

Подставив значения величин Q, ео, сг, т, тг и г в формулу (7) и сделав вычисления, найдем

F = 289 мкН.

Направление силы F, действующей на положительный заряд Q, со-впадает с направлением вектора напряженности Е поля. Направление же вектора Е задается углом а к заряженной плоскости. Из рис. 14.5 следует, что

Ei а г а\

tgo = — = тгг—, откуда о = arctg I тгг— ).

til Т \ Т/

Направление силы F совпадает с направлением вектора напряжен-ности Е, а последний в силу симметрии (цилиндр бесконечно длинный) направлен перпендикулярно оси цилиндра.

Пример 6. Электрическое поле создано тонкой бесконечно длинной нитью, равномерно заряженной с линейной плотностью т = ЗОнКл/м. На расстоянии о = 20 см от нити находится плоская круглая площадка радиусом г — 1 см. Определить поток вектора напряженности через эту

14 Зак. 237

218

Гл.З. Электростатика

§ 14. Напряженность электрического поля

219

площадку, если плоскость ее составляет угол /3 == 30° с линией напря-женности, проходящей через середину площадки.

Решение. Поле, создаваемое бесконечной равномерно заряженной нитью, является неоднородным. Поток вектора напряженности в этом случае выражается интегралом

(И)

где Еп — проекция вектора Е на нормаль п к поверхности площадки dS. Интегрирование выполняется по всей поверхности площадки, которую

пронизывают линии напряженности. Проекция Еп вектора напряженности

равна, как видно из рис. 14.6,

Еп — Е cos a,

где а — угол между направлением Е век-тора и нормалью п.

Е

С учетом этого формула (11) примет вид

= / EcosadS.

Рис. 14.6 ^

Так как размеры поверхности площадки

малы по сравнению с расстоянием до ни-ти (г <?С а), то электрическое поле в пределах площадки можно счи¬тать практически однородным. Следовательно, вектор напряженности Е очень мало меняется по модулю и направлению в пределах площадки, что позволяет заменить под знаком интеграла значения Е и cos a их средними значениями (Е) и (cos а) и вынести их за знак интеграла:

ФЕ = [(E){cosa)dS = (E){cosa) f dS.

Подставив в последнюю формулу данные и произведя вычисления, найдем

ФЕ = 0,424 В • м.

Пример 7. Две концентрические проводящие сферы радиусами Ri = 6см и Л2 = 10см несут соответственно заряды Qx = 1нКл и Qi~— 0,5 нКл. Найти напряженность Е поля в точках, отстоящих от центра сфер на расстояниях т-^—Ъ см, г2 = 9 см и гз = 15 см. Построить график Е(т).

Решение. Заметим, что точки, в которых требуется найти на¬пряженности электрического поля, лежат в трех областях (рис. 14.7): область I (ri < Ri), область II (Rx < r2 < < R2), область III (r3 > Я2).

in

/

1. Для определения напряженности Е\ в области I проведем сферическую поверх-ность Si радиусом Г\, и воспользуемся те-оремой Остроградского-Гаусса. Так как внутри области I зарядов нет, то согласно указанной теореме получим равенство

(13)

EndS =

Рис. 14.7

где Еп — нормальная составляющая на-пряженности электрического поля.

Из соображении симметрии нормаль¬ная составляющая Еп должна быть равна

самой напряженности и постоянна для всех точек сферы, т.е. Еп — — Е\ = const. Поэтому ее можно вынести за знак интеграла. Равенство (13) примет вид

j dS = 0.

Si Так как плошадь сферы не равна нулю, то

Выполняя интегрирование и заменяя (Е) и (cos о) их приближен¬ными значениями ЕА и coso^, вычисленными для средней точки пло¬щадки, получим

(12)

ФЕ = ЕА cosaAS —

Напряженность ЕА вычисляется по формуле ЕА = г/(2тге0о). Из рис. 14.6 следует cosa^ = COS(TT/2 — /3) = sin/3.

тг 2епа

ТГГ2Т

sin/3.

С учетом выражения ЕА и cosa^ равенство (12) примет вид

sin/З, или ФЕ =

т.е. напряженность поля во всех точках, удовлетворяющих условию ri < Ri, будет равна нулю.

2. В области II сферическую поверхность проведем радиусом г2. Так как внутри этой поверхности находится заряд Qi, то для нее, согласно теореме Остроградского-Гаусса, можно записать равенство

/

(14)

ео

Так как Еп — Е% = const, то из условий симметрии следует

или

EjdS=9±,

J Со

14*

220

Гл. 3. Электростатика