§ 14. Напряженность электрического поля

211

В центре кривизны полукольца находится заряд Q = 20нКл. Опре¬делить силу F взаимодействия точечного заряда и заряженного полукольца.

13.22. По тонкому кольцу радиусом R = 10 см равномерно рас¬пределен заряд с линейной плотностью т = 1 нКл/м. В центре кольца находится заряд Q — 400 нКл. Определить силу F, растя¬гивающую кольцо. Взаимодействием зарядов кольца пренебречь.

§ 14. Напряженность электрического поля. Электрическое смешение

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ • Напряженность электрического поля в точке

„ F

где ^2 Qt — алгебраическая сумма зарядов, заключенных внутри за-

t=i мкнутой поверхности; п — число зарядов.

• Напряженность электрического поля, создаваемого точечным заря-дом Q на расстоянии г от заряда,

Q

Г~ или Е=

4тгео er2 r

4тге0 ег2'

где г/г — единичный радиус-вектор, направленный от заряда Q к точке, в которой определяется Е.

• Напряженность электрического поля, создаваемого металлической сферой радиусом R, несущей заряд Q, на расстоянии г от центра сферы:

а) внутри сферы (г < R)

б) на поверхности сферы (г = R)

1 Q

Е =

4тге0 ей2'

где F — сила, действующая на точечный положительный заряд Q, по-мещенный в данную точку поля.

• Сила, действующая на точечный заряд Q, помещенный в электри-ческое поле,

F

• Поток вектора напряженности Е электрического поля:

а) через произвольную поверхность S, помещенную в неоднородное

поле,

ФЕ = / Е cos a dS, или ФЕ = / Еп dS,

S S

где а — угол между вектором напряженности Е и нормалью п к элементу поверхности; dS — площадь элемента поверхности; Еп — проекция век-тора напряженности на нормаль;

б) через плоскую поверхность, помещенную в однородное электриче¬

ское поле,

ФЕ = ES cos а.

• Поток вектора напряженности Е через замкнутую поверхность

ФЕ = j>EndS,

где интегрирование ведется по всей поверхности.

• Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора напряженности Е

через любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды <3i, <2г> •■•

■■.,Qn,

•. = -'

в) вне сферы (г > R)

4тге0 ег2

• Принцип суперпозиции (наложения) электрических полей, согласно которому напряженность Е результирующего поля, созданного N точеч-ными зарядами, равна векторной (геометрической) сумме напряженно-стей складываемых полей:

N

1=1

В случае наложения двух электрических полей с напряженностями Ех и Ег модуль вектора напряженности определяется по теореме коси¬нусов:

Е = yjE2 + E2 + 2ЕгЕ2 cos a,

где а — угол между векторами Ei и Ег.

• Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью (или цилиндром) на расстоянии г от ее оси,

1 2т

где т — линейная плотность заряда.

Линейная плотность заряда есть величина, равная отношению за¬ряда, распределенного по нити, к длине нити (цилиндра):

т =

AQ А1 '

15*

212

Гл. 3. Электростатика

§ 14. Напряженность электрического поля

213

• Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заря-женной плоскостью,

где a — поверхностная плотность заряда.

Поверхностная плотность заряда есть величина, равная отношению заряда, распределенного по поверхности, к площади этой поверхности:

a =

AQ AS'

• Напряженность поля, создаваемого двумя параллельными

бесконечными равномерно и разноименно заряженными плоскостями с

одинаковой по модулю поверхностной плотностью о заряда (поле плос¬

кого конденсатора):

еое

Приведенная формула справедлива для вычисления напряженности поля между пластинами плоского конденсатора (в средней части его) только в том случае, если расстояние между пластинами много меньше линейных размеров пластин конденсатора.

• Электрическое смещение (электрическая индукция) D связано с

напряженностью Е электрического поля соотношением

D = еоеЕ.

Это соотношение справедливо только для изотропных диэлектриков.

• Поток вектора электрического смещения выражается аналогично

потоку вектора напряженности электрического поля:

а) в случае однородного поля поток сквозь плоскую поверхность

ДФ -D AS cos Q;

б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

л-а

Пример 1. Электрическое поле создано двумя точечными заря¬дами: Qx — 30 нКл и Q2 = —10 нКл. Расстояние d между зарядами равно 20 см. Определить напряженность элек¬трического поля в точке, находящейся на расстоянии г\ = 15 см от первого и на рас¬стоянии т2 = 10 см от второго зарядов.

d Рис. 14.1

Решение. Согласно принципу супер¬позиции электрических полей, каждый за¬ряд создает поле независимо от присут¬ствия в пространстве других зарядов. По¬этому напряженность Е электрического поля в искомой точке может быть найдена как векторная сумма напря-женностей Ei и Ег полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности:

Напряженности электрического поля, создаваемого в вакууме4) пер-вым и вторым зарядами, соответственно равны

(1)

Е2 =

4тгеог|

Вектор Ei (рис. 14.1) направлен по силовой линии от заряда Qi, так как заряд Qi > 0; вектор Ег направлен также по силовой линии, но к заряду Q2, так как Q2 < 0.

Модуль вектора Е найдем по теореме косинусов:

(2)

Е = yjE21+El+2ElE2cosa,

где угол о может быть найден из треугольника со сторонами Г\, т2 и d:

COSQ =

~ Г1 ~ Г2

2rir2

= JDndS,

J

где Dn — проекция вектора D на направление нормали к элементу по-верхности, площадь которой равна dS.

• Теорема Остроградского-Гаусса. Поток вектора электрического сме¬щения сквозь любую замкнутую поверхность, охватывающую заряды

Ql,Q2,..;Qn,

В данном случае во избежание громоздких записей вычислим отдельно значение cos о. По этой формуле найдем

cos a = 0,25.

Подставляя выражения Е\ и Е2 по формулам (1) в равенство (2) и вынося общий множитель 1/(4тгео) за знак корня, получаем

cos а.

4тг&

г2 г2 Г1Г2

Е =

где п — число зарядов (со своим знаком), заключенных внутри замкну¬той поверхности.

4) См. сноску на с. 206.

214

Гл. 3. Электростатика