§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел

207

Таким образом, сила, действующая на заряд

Qxr

(6) =. Подставив

(7)

dF,-- -

если выделить на стержне малый участок длиной dl, то находящийся на нем заряд dQ = т dl можно рассматривать как точечный и тогда по за¬кону Кулона3) сила взаимодействия между зарядами Qx и dQ:

(4)

где г — расстояние от выделенного элемента до заряда Qy.

Из рис. 13.3 следует, что г =

cos a , г da

и d/ = . Подставив эти выраже-

cosa

ния г и dl в формулу (4), получим

Рис. 13.3

Следует иметь в виду, что dF — вектор, поэтому, прежде чем интегри¬ разложим его на две составляющие: dFi, перпендикулярную , и dF2, параллельную ему.

(5)

ровать,

стержню, и dF2, параллельную ему.

ляя

Из рис. 13.3 видно, что dFi — dFcosa, dFi = dFsina. Подстав значение dF из выражения (5) в эти формулы, найдем:

da;

da.

QiTCOsa

4тгеого

Интегрируя эти выражения в пределах от -/3 до +/3, получим

оо

В силу симметрии расположения заряда Qi относительно стержня интегрирование второго выражения дает нуль:

Fo =

= 0.

sinada = -

-/з

4тгеого

3) Здесь и далее, если в условии задачи не указана среда, имеется в виду, что заряды находятся в вакууме (е = 1).

sin/3.

= F, =

2тгеого 1/2

Из рис. 13.3 следует, что sin/З = —,— это выражение sin/З в формулу (6), получим

I

2тгеого v/4r2 +12 Произведем вычисления по формуле (7):

F =

10 ■ 10"9 • 1 • 10~6 0,3 Кл • (Кл/м) • м

Кл2

Ф-м

2 • 3,14 • 8,85 • Ю-12 • 0,2 ^4 • 0,22 + 0,32 (Ф/м) • м ■ м

~4

= 5,4 • 10

= 5,4 • 10~4 Н = 0,54 мН.

ЗАДАЧИ

Взаимодействие точечных зарядов

13.1. Определить силу взаимодействия двух точечных зарядов

Q\ = Q2 = 1 Кл, находящихся в вакууме на расстоянии г = 1 м

друг от друга.

13.2. Два шарика массой т = 0,1 г каждый подвешены в одной

точке на нитях длиной I = 20 см каждая. Получив одинаковый

заряд, шарики разошлись так, что нити образовали между собой

угол а = 60°. Найти заряд каждого шарика.

13.3. Два одинаковых заряженных шарика подвешены в одной

точке на нитях одинаковой длины. При этом нити разошлись

на угол а. Шарики погружаются в масло плотностью ро = 8 х

х 102 кг/м3. Определить диэлектрическую проницаемость е масла,

если угол расхождения нитей при погружении шариков в масло

остается неизменным. 'Плотность материала шариков р = 1,6 х

х 103 кг/м3.

13.4. Даны два шарика массой т = 1 г каждый. Какой за-

ряд Q нужно сообщить каждому шарику, чтобы сила взаимного

отталкивания зарядов уравновесила силу взаимного притяжения

шариков по закону тяготения Ньютона? Рассматривать шарики

как материальные точки.

13.5. В элементарной теории атома водорода принимают, что

электрон обращается вокруг ядра по круговой орбите. Определить

208

Гл. 3. Электростатика

§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел

209

скорость v электрона, если радиус орбиты г = 53 пм, а также ча¬стоту п вращения электрона.

13.6. Расстояние между двумя точечными зарядами Qi = 1 мкКл

и Q2 — —Q\ равно 10 см. Определить силу F, действующую на

точечный заряд Q = 0,1мкКл, удаленный на г\ = 6 см от первого

и на гг = 8 см от второго зарядов.

13.7. В вершинах правильного шестиугольника со стороной

а = 10 см расположены точечные заряды Q, 2Q, 3Q, AQ, 5Q, 6Q

(Q = ОДмкКл). Найти силу F, действующую на точечный заряд

Q, лежащий в плоскости шестиугольника и равноудаленный От

его вершин.

13.8. Два одинаковых проводящих заряженных шара нахо¬

дятся на расстоянии г = 60 см. Сила отталкивания F\ шаров рав¬

на 70 • 10~6 Н. После того как шары привели в соприкосновение и

удалили друг от друга на прежнее расстояние, сила отталкивания

возросла и стала равной Fz = 1,6 • 10~4 Н. Вычислить заряды Qi

и Q2, которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр

шаров считать много меньшим расстояния между ними.

13.9. Два одинаковых проводящих заряженных шара нахо¬

дятся на расстоянии г = 30 см. Сила притяжения F\ шаров равна

90мкН. После того как шары были приведены в соприкосновение

и удалены друг от друга на прежнее расстояние, они стали от¬

талкиваться с силой Fi = 160 мкН. Определить заряды Q\ и Q2,

которые были на шарах до их соприкосновения. Диаметр шаров

считать много меньшим расстояния между ними.

13.10. Два положительных точечных заряда Q и 4Q закреп¬

лены на расстоянии I = 60 см друг от друга. Определить, в какой

точке на прямой, проходящей через заряды, следует поместить

третий заряд Q\ так, чтобы он находился в равновесии. Ука¬

зать, какой знак должен иметь этот заряд для того, чтобы рав¬

новесие было устойчивым, если перемещения заряда возможны

только вдоль прямой, проходящей через закрепленные заряды.

13.11. Расстояние I между свободными зарядами Q\ = 180 нКл

и <Эг = 720 нКл равно 60 см. Определить точку на прямой, про¬

ходящей через заряды, в которой нужно поместить третий заряд

Qz так, чтобы система зарядов находилась в равновесии. Опреде¬

лить величину и знак заряда. Устойчивое или неустойчивое будет

равновесие?

13.12. Три одинаковых заряда Q = 1 нКл каждый расположены

по вершинам равностороннего треугольника. Какой отрицатель¬

ный заряд Q\ нужно поместить в центре треугольника, чтобы его

притяжение уравновесило силы взаимного отталкивания зарядов?

Будет ли это равновесие устойчивым?

13.13. В вершинах квадрата находятся одинаковые заряды Q =

= 0,3 нКл каждый. Какой отрицательный заряд Q\ нужно помес-

тить в центре квадрата, чтобы сила взаимного отталкивания положительных зарядов была уравновешена силой притяжения отрипательного заряда?

Взаимодействие точечного заряда с зарядом, равномерно распределенным

13.14. Тонкий стержень длиной I = 10 см равномерно заряжен.

Линейная плотность т заряда равна 103 нКл/м. На продолжении

оси стержня на расстоянии а = 20 см от ближайшего его конца

находится точечный заряд Q = 100 нКл. Определить силу F вза¬

имодействия заряженного стержня и точечного заряда.

13.15. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с ли¬

нейной плотностью т заряда, равной 104 нКл/м. На продолжении

оси стержня на расстоянии а = 20 см от его конца находится то¬

чечный заряд Q = ЮнКл. Определить силу F взаимодействия

заряженного стержня и точечного заряда.

13.16. Тонкий очень длинный стержень равномерно заряжен с

линейной плотностью т заряда, равной 104 нКл/м. На перпенди¬

куляре к оси стержня, восставленном из конца его, находится то-

чечный заряд Q = 10 нКл. расстояние а заряда от конца стержня

равно 20 см. Найти силу F взаимодействия заряженного стержня

и точечного заряда.

13.17. Тонкая нить длиной I = 20 см равномерно заряжена с

линейной плотностью т = 10нКл/м. На расстоянии а = 10 см от

нити, против ее середины, находится точечный заряд Q — 1 нКл.

Вычислить силу F, действующую на этот заряд со стороны заря¬

женной нити.

13.18. Тонкий длинный стержень равномерно заряжен с ли¬

нейной плотностью т = 104нКл/м. Какова сила F, действую¬

щая на точечный заряд Q = ЮнКл, находящийся на расстоянии

а = 20 см от стержня, вблизи его середины?

13.19. Тонкая бесконечная нить согнута под углом 90°. Нить

несет заряд, равномерно распределенный с линейной плотностью

г = 1 мкКл/м. Определить силу F, действующую на точечный

заряд Q = 0,1 мкКл, расположенный на продолжении одной из

сторон и удаленный от вершины угла на а = 50 см.

13.20. Тонкое кольцо радиусом R = 10 см несет равномерно

распределенный заряд Q — 102 нКл. На перпендикуляре к плоско¬

сти кольца, восставленном из его середины, находится точечный

заряд Qi = ЮнКл. Определить силу F, действующую на точеч¬

ный заряд Q со стороны заряженного кольца, если он удален от

центра кольца на: 1) 1г = 20 см; 2) li = 2 м.

13.21. Тонкое полукольцо радиусом R — 10 см несет равномерно

распределенный заряд с линейной плотностью т = 103нКл/м.

15 3ак. 237

210

Гл. 3. Электростатика