§ 13. Закон Кулона. Взаимодействие заряженных тел

205

проходящей через заряды. Определить положение заряда Qx, при кото¬ром он будет находиться в равновесии. При каком знаке заряда равно¬весие будет устойчивым1)?

Решение. Заряд Q\ будет находиться-в равновесии в том случае, если векторная сумма сил, действующих на него, будет равна нулю. Это значит, что на заряд Q\ должны действовать две силы, равные по мо¬дулю и противоположные по направлению. Рассмотрим, на каком из

I i II i III

_J9Q_ \Q_

■£»•

Q

\Q F2 F,

2T

J9Q

Рис. 13.2

трех участков I, II, III (рис. 13.2) может быть выполнено это условие. Для определенности будем считать, что заряд Qx — положительный2).

На участке I (рис. 13.2а) на заряд Qi действуют две противоположно направленные силы: F] и F2. Сила Fi, действующая со стороны заряда 9Q, в любой точке этого участка будет больше, чем сила F2, действу¬ющая со стороны заряда — Q, так как больший (по модулю) заряд 9Q всегда находится ближе к заряду Qi, чем меньший заряд —Q. Поэтому равновесие на этом участке невозможно.

На участке II (рис. 13.26) обе силы Fx и F2 направлены в одну сто¬рону — к заряду — Q. Следовательно, и на участке II равновесие невоз¬можно.

На участке III (рис. 13.2в) силы Fi и F2 направлены в противопо¬ложные стороны, так же как и на участке I, но в отличие от него меньший (по модулю) заряд (—Q) всегда находится ближе к заряду Qi, чем боль¬ший заряд (9Q). Это значит, что можно найти такую точку на прямой, где силы Fi и F2 будут одинаковы по модулю, т. е.

|Fi| = |F2|. (3)

1) Равновесие называется устойчивым, если при малом смещении заряда от

положения равновесия возникают силы, возвращающие его в положение равно¬

весия.

2) Рекомендуется читателю самостоятельно выполнить решение задачи для

отрицательного заряда.

Пусть расстояние от меньшего заряда до заряда Q\ равно х, тогда расстояние от большего заряда будет I + х. Выражая в равенстве (3) F\ и Fi в соответствии с законом Кулона, получим

9QQi QQi

(l + х)2 х2 '

Сокращая на QQi и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, найдем I + х = ±3х, откуда

1 I

Xi=+— И Х2 = .

2 4

Корень х2 не удовлетворяет физическому условию задачи (в этой точке силы F\ и F2 хотя и равны по модулю, но направлены в одну сторону). Определим знак заряда, при котором равновесие будет устой¬чивым. Рассмотрим смещение заряда Qi в двух случаях: 1) заряд поло¬жителен; 2) заряд отрицателен.

1. Если заряд Qi положителен, то при смещении его влево обе силы

Fi и Fi возрастают, но F\ возрастает медленнее (заряд 9Q всегда нахо¬

дится дальше, чем —Q). Следовательно, F2 (по модулю) больше, чем Fx,

и на заряд Qi будет действовать результирующая сила, направленная

также влево. Под действии этой силы заряд Qx удаляется от положения

равновесия. То же происходит и при смешении заряда Q\ вправо. Сила

F2 убывает быстрее, чем F\. Векторная сумма сил в этом случае напра¬

влена вправо. Заряд под действием этой силы также будет перемешаться

вправо, т.е. удаляться от положения равновесия. Таким образом, в слу¬

чае положительного заряда равновесие является неустойчивым.

2. Если заряд Qx отрицателен, то его смещение влево вызовет уве¬

личение сил F2 и F\, но сила Fx возрастает медленнее, чем F2, т.е.

\F2\ > |.Fi|. Результирующая сила будет направлена вправо. Под дей¬

ствием этой силы заряд Qi возвращается к положению равновесия. При

смещении Qi вправо сила F2 убывает быстрее, чем Fi, т.е. |.Fi| > \F2\,

результирующая сила направлена влево и заряд Qi опять будет возвра¬

щаться к положению равновесия. При отрицательном заряде равновесие

является устойчивым. Величина самого заряда Q\ несущественна.

Отметим, что в электростатике устойчивое равновесие возможно только при определенных ограничениях. В нашем примере заряд Q\ мо¬жет перемещаться только вдоль прямой, проходящей через згряцы — Q и 9Q. Если это ограничение снять, то устойчивого равновесия не будет. В системе зарядов, находящихся под действием одних только электро-статических сил, устойчивое равновесие невозможно (теорема Ирншоу).

Пример 3. Тонкий стержень длиной I = 30см (рис. 13.3) несет равномерно распределенный по длине заряд с линейной плотностью т = = 1мкКл/м. На расстоянии го = 20 см от стержня находится заряд Qi = ЮнКл, равноудаленный от концов стержня. Определить силу F взаимодействия точечного заряда с заряженным стержнем.

Решение. Закон Кулона позволяет вычислить силу взаимодей-ствия точечных зарядов. По условию'задачи, один из зарядов не явля¬ется точечным, а равномерно распределен по длине стержня. Однако