§ 12. Реальные газы. Жидкости

193

Сделав подстановку значений величин, получим

А = 2,5 мДж.

я

Пример 5. Определить изменение свободной энергии АЕ поверх¬ности мыльного пузыря при изотермическом увеличении его объема от Vi = 10см3 до V2 = 2Vj.

Решение. Свободная энергия Е поверхности жидкости пропорци-ональна площади S этой поверхности: Е = aS, где a — поверхностное натяжение.

У мыльного пузыря имеются две поверхности — внешняя и вну¬тренняя, площади которых практически равны из-за малой толщины мыльной пленки. Поэтому свободная энергия поверхности (внешней и внутренней вместе) мыльного пузыря

(9)

Е = 2aS.

Так как, по условию задачи, процесс изотермический, то поверх-ностное натяжение, являющееся для данной жидкости функцией только температуры, остается постоянным. Следовательно, по формуле (9) из-менение свободной энергии

После вычисления по формуле (12) получим АЕ = 106 мкДж.

Пример 6. Вода подается в фонтан из большого цилиндрического бака (рис. 12.2) и бьет из отверстия II II со скоростью г>2 = 12 м/с. Диа¬метр D бака равен 2 м, диаметр d сече¬ния П-П равен 2 см. Найти: 1) скорость vi понижения воды в баке; 2) давление Pi, под которым вода подается в фонтан; 3) высоту /ii уровня воды в баке и вы¬соту /i2 струи, выходящей из фонтана.

Решение. 1. Проведем сечение I-

I в баке на уровне сечения П-П фон¬

тана. Так как площадь S] сечения I-I

много больше площади S2 сечения II II,

то высоту hi уровня воды в баке можно рис 12 2

считать для малого промежутка времени

постоянной, а поток -— установившимся. Для установившегося потока справедливо условие неразрывности струи: ViSi = V2S2, откуда

(10)

АЕ = la AS,

где AS — изменение поверхности пузыря (одной — внутренней или

внешней).

Считая, что мыльный пузырь имеет форму сферы, найдем изменение площади поверхности:

Д5 = 47гг|-4тгг?, (11)

где Г! и г2 — радиусы сфер, соответствующие начальному V\ и конечному

/от/ \ 1/3 /ЧТ/ \ *^

V2 объемам: п = ( —- ] , г2 = ( —— 1 . Теперь формула (11) при-

\Аж ) мет вид

Учитывая, что Vi = 2Vi, получим после вынесения общего члена

WA2/3

за скобку

4тг/

AS^fV-,).

или

(13)

= <Ф

Подставив в равенство (13) значения заданных величин и произведя вычисления, найдем

vx - 0,0012 м/с.

С такой же скоростью будет понижаться уровень воды в баке. Как видно, эта скорость очень мала по сравнению со скоростью струи.

2. Давление рь под которым вода подается в фонтан, найдем по урав-нению Бернулли. В случае горизонтальной трубки тока оно имеет вид

Pi + -^-=P2 + -^-- (14)

Учтя, что р2 = 0 (под давлением подразумевается избыточное над атмосферным давление), из уравнения (14) получим

(15)

Так как v\ «1^, то из равенства (15) следует

Подставим выражение AS в формулу (10)

2/3

А* = *.(§)'(*■-.).

(12)

Р1= 2-

После вычислений, произведенных по этой формуле, найдем

Pi = 72 кПа.

194

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика

§ 12. Реальные газы. Жидкости

195

3. Высоту hi уровня воды в баке найдем из соотношения р\ = hipg, откуда

h Pl

Р9 -Произведя вычисления по этой формуле, найдем

hi = 7,35 м.

Зная скорость v2, с которой вода выбрасывается фонтаном, найдем высоту /i2, на которую она будет выброшена:

V2

h2 = тг" = 7,35 м.

Подчеркнем, что высота уровня воды в баке равна высоте, на кото¬рую поднимается фонтан воды (по правилу сообщающихся сосудов). Это замечание справедливо, если пренебречь сопротивлением воздуха.

Пример 7. В сосуде с глицерином падает свинцовый шарик. Опре-делить максимальное значение диаметра шарика, при котором движение слоев глицерина, вызванное падением шарика, является еще ламинар¬ным. Движение считать установившимся.

Решение. Если в вязкой жидкости движется тело, то вмест&с ним, как одно целое, движется и прилипший к телу слой жидкости. Этот слой вследствие внутреннего трения увлекает за собой и соседние слои. Возникающее при этом движение жидкости является ламинарным или турбулентным в зависимости от размеров и формы тела и его скорости. Характер движения зависит также от свойств жидкости и определяется безразмерным числом Рейнольдса.

Если тело, движущееся в жидкости, имеет форму шара диаметром d, то число Рейнольдса определяется по формуле

3) сила внутреннего трения, определяемая по формуле Стокса,

При установившемся движении шарика в жидкости (v = const) сила тяжести шарика уравновешивается суммой выталкивающей силы и силы внутреннего трения, т. е.

откуда

(17)

v_ (Рев ~Ргл)л

Щ Решая совместно уравнения (16) и (17) относительно d, найдем

Максимальное значение диаметра tfmax, при котором движение оста-ется еще ламинарным, соответствует критическому значению числа Рей-нольдса ReKp. Поэтому

"max —

Ргл(Рсв - Ргл)д

Подставив сюда значения величин г\ (см. табл. 14), ReKp, pCB, ргл и д и произведя вычисления, получим

= 5,29 ММ.

pvd

(16)

Re =

а критическое значение этого числа ReKp = 0,5.

Скорость v выразим, исходя из следующих соображений. На свин-цовый шарик, падающий в глицерине, действуют три силы:

1) сила тяжести шарика

тд - pCBgV = —~—,

где р — плотность свинца; V — объем шарика;

2) выталкивающая сила, определяемая по закону Архимеда,

■Рвыт = Ргл Vg = где ргл — плотность глицерина;

ЗАДАЧИ

Уравнение Ван-дер-Ваальса

12.1. В сосуде вместимостью V = Юл находится азот массой

m = 0,25 кг. Определить: 1) внутреннее давление р' газа: 2) соб¬

ственный объем V молекул.

12.2. Определить' давление р, которое будет производить ки¬

слород, содержащий количество вещества v = 1 моль, если он за¬

нимает объем V = 0,5 л при температуре Т = 300 К. Сравнить

полученный результат с давлением, вычисленным по уравнению

Менделеева-Клапейрона.

12.3. В сосуде вместимостью V = 0,3 л находится углекислый

газ, содержащий количество вещества v = 1 моль при темпера¬

туре Т — 300 К. Определить давление р газа: 1) по уравнению

Менделеева-Клапейрона; 2) по уравнению Ван-дер-Ваальса.

196

Гл. 2. Молекулярная физика, и термодинамика