§ 12. Реальные газы. Жидкости

191

Подставив сюда выражения ркР, VmKp и Ткр через постоянные Ван-дер-Ваальса а и Ь, найдем:

Выразив в равенстве (6) молярный объем Vm через объем V и коли¬чество вещества v (Vm = V/v) и учтя, что v — тп/М, получим

8а

тк

т.

~ M\CVT~ MVJ-

(7)

Полученные выражения р, Vm и Т подставим в обычное уравнение Ван-дер-Ваальса:

Изменение Д£/ внутренней энергии в результате изотермического расширения найдем как разность двух значений внутренней энергии при объемах Vi и У\\

а а \

= U2 - Ux =

m2a(V2 - Vi) M2ViV2 "

(8)

После сокращения на a/(27b) и в правой части на R получим

(5)

Это и есть уравнение Ван-дер-Ваальса в приведенной форме. Оно не со-держит никаких параметров, характеризующих индивидуальные свойс¬тва газа, и поэтому является универсальным.

Теперь ответим на вопрос задачи. Так как давление остается посто-янным (р = ркр), то тг = 1; молярный объем газа согласно условию увеличился в два раза, т.е. Vm = 2Vmitp; следовательно, w = 2. Из уравнения (5) выразим приведенную температуру т:

7" =1 —•

4) (3w -1).

Подставив сюда значения тгиши произведя вычисления, найдем

35

32'

т =

Подставив значения величин в формулу (8) и произведя вычисления, получим

(20 ■ ИГ3)2 ■ 0,650(5 - 2) ■ Ю-4 „ U2 - Vl = < (?1. J3), 11QL . 5 10_4 Дж = 154 Д..

Отметим, что для идеального газа такое изменение внутренней энер¬гии соответствовало бы нагреванию на 26,3 К.

Пример 4. Найти добавочное давление р внутри мыльного пузыря диаметром d = 10 см. Определить также работу А, которую нужно со-вершить, чтобы выдуть этот пузырь.

Решение. Пленка мыльного пузыря имеет две сферические поверх¬ности — внешнюю и внутреннюю. Обе поверхности оказывают давление на воздух, заключенный внутри пузыря. Так как толщина пленки чрез-вычайно мала, то диаметры обеих поверхностей практически одинаковы. Поэтому добавочное давление р = 2 • 2a/r, где г — радиус пузыря. Так как г = d/2, то

8<т

Температура Т, как отмечалось, связана с приведенной температурой т и критической Ткр соотношением Т = тТкр. Произведя вычисления по этой формуле, получим

Г = 332 К.

Пример 3. В цилиндре под поршнем находится хлор массой m = = 20 г. Определить изменение ДС/ внутренней энергии хлора при изо¬термическом расширении его от V\ = 200 см3 до Vi — 500 см3.

Решение. Внутренняя энергия U реального (ван-дер-ваальсового) газа определяется выражением

Подставив в эту формулу значения «т = 40 • 10 3 Н/м (см. табл. 15) и d = 0,1 м и произведя вычисления, найдем

р = 3,2 Па.

Работа, которую нужно совершить, чтобы, растягивая пленку, увели-чить ее поверхность на AS, выражается формулой

А = a AS, или A = a(S- So).

В данном случае S — общая площадь двух сферических поверхностей пленки мыльного пузыря; So — общая площадь двух поверхностей плос¬кой пленки, затягивающей отверстие трубки до выдувания пузыря. Пре-небрегая So, получим

А и aS = 2ж£о.

192

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика