§ 2. Динамика материальной точки и тела

23

Н подъема, дальность s полета и радиус R кривизны траектории пули в ее наивысшей точке. Сопротивлением воздуха пренебречь.

1.48. Камень брошен с вышки в горизонтальном направлении

с начальной скоростью г>о — 30 м/с. Определить скорость v, тан¬

генциальное от и нормальное ап ускорения камня в конце второй

секунды после начала движения.

1.49. Тело брошено под углом а = 30° к горизонту. Найти тан-

генциальное ат и нормальное оп ускорения в начальный момент

движения.

Вращение тела вокруг неподвижной оси

1.50. Определить линейную скорость v и центростремитель¬

ное ускорение ац точек, лежащих на земной поверхности: 1) на

экваторе; 2) на широте Москвы (<р = 56°).

1.51. Линейная скорость v\ точек на окружности вращающе¬

гося диска равна 3 м/с. Точки, расположенные на AR = 10 см

ближе к оси, имеют линейную скорость г>2 = 2 м/с. Определить

частоту вращения п диска.

1.52. Два бумажных диска насажены на общую горизонталь¬

ную ось так, что плоскости их параллельны и отстоят на d = 30 см

друг от друга. Диски вращаются с частотой п = 25 с"1. Пуля, ле¬

тевшая параллельно оси на расстоянии г — 12 см от нее, пробила

оба диска. Пробоины в дисках смещены друг относительно друга

на расстояние s = 5 см, считая по дуге окружности. Найти сред¬

нюю путевую скорость (v) пули в промежутке между дисками и

оценить создаваемое силой тяжести смещение пробоин в верти¬

кальном направлении. Сопротивление воздуха не учитывать.

1.53. На цилиндр, который может вращаться вокруг горизон¬

тальной оси, намотана нить. К концу нити привязали грузик и

предоставили ему возможность опускаться. Двигаясь равноуско¬

ренно, грузик за время t = Зс опустился на h = 1,5 м. Определить

угловое ускорение е цилиндра, если его радиус г = 4 см.

1.54. Диск радиусом г — 10 см, находившийся в состоянии

покоя, начал вращаться с постоянным угловым ускорением е =

= 0,5 рад/с2. Найти тангенциальное аТ, нормальное ап и полное

о ускорения точек на окружности диска в конце второй секунды

после начала вращения.

1.55. Диск радиусом г = 20 см вращается согласно уравнению

tp = А + Bt 4- Ct3, где А = Зрад, В = -1 рад/с, С = 0,1 рад/с3.

Определить тангенциальное ат, нормальное ап и полное а ускоре¬

ния точек на окружности диска для момента времени t = 10 с.

1.56. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежу¬

ток времени At = 10 с достиг частоты вращения п = 300 мин"1.

Определить угловое ускорение е маховика и число N оборотов,

которое он сделал за это время.

1.57. Велосипедное колесо вращается с частотой п = 5 с 1. Под

действием сил трения оно остановилось через интервал времени

At = 1 мин. Определить угловое ускорение е и число N оборотов,

которое сделает колесо за это время.

1.58. Колесо автомашины вращается равноускоренно. Сделав

N = 50 полных оборотов, оно изменило частоту вращения от щ —

= 4с"1 до «г = 6с"1. Определить угловое ускорение е колеса.

"1

1.59. Диск вращается с-.угловым ускорением е = —2 рад/с2.

Сколько оборотов N сделает диск при изменении частоты враще-

ния от rii = 240 мин"1 до «г — 90 мин"1? Найти время At, в

течение которого это произойдет.

1.60. Винт аэросаней вращается с частотой п = 360 мин

Скорость v поступательного движения аэросаней равна 54 км/ч.

С какой скоростью и движется один из концов винта, если радиус

R винта равен 1 м?

1.61. На токарном станке протачивается вал диаметром d =

= 60 мм. Продольная подача h резца равна 0,5 мм за один оборот.

Какова скорость v резания, если за интервал времени At = 1 мин

протачивается участок вала длиной I = 120 мм?

2. Динамика материальной точки и тела, движущихся поступательно

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона): а) в векторной форме

N

N

или

t=i

t=i

где Y^, F» — геометрическая сумма сил, действующих на материальную

t=i

точку; m — масса точки; а — ускорение; р = mv — импульс; N — число сил, действующих на точку;

б) в координатной'форме (скалярной)

mav ~

mar =

или

d x V^ IT d V V^ IT d z

где под знаком суммы стоят проекции сил F* на соответствующие оси координат.

24

Гл. 1. Физические основы механики