§ 12. Реальные газы. Жидкости

187

где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме. • Коэффициент поверхностного натяжения

• Уравнение Бернулли для идеальной несжимаемой жидкости в об¬щем случае

pv? Pi + -у- +

pv\ = Рг + — + pgh2,

где F — сила поверхностного натяжения, действующая на контур I, огра-ничивающий поверхность жидкости, или

о —

АЕ AS'

где АЕ — изменение свободной энергии поверхностной пленки жидко¬сти, связанное с изменением площади AS поверхности этой пленки. • Формула Лапласа в общем случае записывается в виде

где р — давление, создаваемое изогнутой поверхностью жидкости; о — коэффициент поверхностного натяжения; R\ и R2 — радиусы кривизны двух взаимно перпендикулярных сечений поверхности жидкости, а в слу¬чае сферической поверхности

2<т

где pi и р2 — статические давления жидкости в двух сечениях трубки тока; г>] и г>г — скорости жидкости в этих сечениях; pv\/2 и рг>|/2 — ди-намические давления жидкости в этих же сечениях; Jiinh2 — высоты их над некоторым уровнем (рис. 12.1); pghi и pghi — гидростатические да-вления.

Уравнение Бернулли в случае, ко¬гда оба сечения находятся на одной высоте (hi = h2):

pv\

pvl

у///////////////////////////////////////.

Pl+ 2 "P2+ 2 • • Скорость течения жидкости из малого отверстия в открытом широ¬ком сосуде

v=

Рис. 12.1

где h — глубина, на которой находится отверстие относительно уровня жидкости в сосуде.

• Формула Пуазейля. Объем жидкости (газа), протекающей за время t через длинную трубку,

V ='-

Высота подъема жидкости в капиллярной трубке

h =

P9R

где в — краевой угол; R — радиус канала трубки; р — плотность жид¬кости; g — ускорение свободного падения.

• Высота подъема жидкости между двумя близкими и параллель¬ными плоскостями

_ 2<7COS0

где г — радиус трубки; I — ее длина; Ар — разность давлений на концах трубки; т) — динамическая вязкость (коэффициент внутреннего трения) жидкости.

• Число Рейнольдса для потока жидкости в длинных трубках

d

где (г>) — средняя по сечению скорость течения жидкости; d — диаметр трубки, и для движения шарика в жидкости

pvd

где d — расстояние между плоскостями.

• Расход жидкости в трубке тока (рис. 12.1):

а) объемный расход Qv ~ vS;

б) массовый расход Qm = pvS, где S — площадь поперечного сечения

трубки тока; v — скорость жидкости; р — ее плотность.

• Уравнение неразрывности струи

viSi - v2S2,

где Si и 5г — площади поперечного сечения трубки тока в двух местах; vi и г>2 — соответствующие скорости течений.

Re =

где v — скорость шарика; d — его диаметр.

Число Рейнольдса Re есть функция скорости v тела, линейной ве-личины I, определяющей размеры тела, плотности р и динамической вязкости т] жидкости, т. е.

Re = f(p, т), I, v).

При малых значениях чисел Рейнольдса, меньших некоторого кри-тического значения ReKp, движение жидкости является ламинарным.

12*

188

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика

§ 12. Реальные газы. Жидкости

189

Р =

При значениях чисел Рейнольдса Re ^ ReKp движение жидкости пере¬ходит в турбулентное.

Критическое число Рейнольдса для движения шарика в жидкости ReKp = 0,5; для потока жидкости в длинных трубках ReKp = 2300.

• Формула Стокса. Сила сопротивления F, действующая со стороны потока жидкости на медленно движущийся в ней шарик,

F = 6тст]гь,

где г — радиус шарика; v — его скорость.

Формула справедлива для скоростей, при которых число Рейнольдса

много меньше единицы (Re <S 1).

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. В баллоне вместимостью V = 8л находится кисло¬род массой m = 0,3 кг при температуре Г = 300 К. Найти, какую часть вместимости сосуда составляет собственный объем молекул газа. Опре-делить отношение внутреннего давления р1 к давлению р газа на стенки сосуда.

Решение. Для получения ответа на первый вопрос задачи необхо¬димо найти отношение

(1)

где V — собственный объем молекул.

Собственный объем молекул найдем, воспользовавшись постоянной Ь Ван-дер-Ваальса, равной учетверенному объему молекул, содержащихся в одном моле реального газа. В уравнении Ван-дер-Ваальса

(2)

поправка vb означает учетверенный объем молекул всего газа, т. е. vb = — 4V. Отсюда

V =-, или

,

mb

где v = тп/М — количество вещества; М — молярная масса. Подставив полученное значение V в выражение (1), найдем

к =

AMV

После вычисления по этой формуле получим

к = 0,91%.

Следовательно-, собственный объем молекул составляет 0,91% от объема сосуда.

Для ответа на второй вопрос задачи надо найти отношение

(3)

Как следует из уравнения (2), , v2a

Р

~,

(4)

или р'=

где а — постоянная Ван-дер-Ваальса для одного моля газа. После вычисления по формуле (4) найдем

р' = 187 кПа.

Давление р, производимое газом на стенки сосуда, найдем из урав-нения (2):

_ vRT 2 a

Р ~ V - vb ~ V V2' После вычисления по этой формуле получим

(0,3/(32 ■ 10~3)) : 8,31 • 300 8--10"3 - (0,3/(32 • Ю-3)) ■ 3,17 • Ю-5

-з

2

Па = 2,84 МПа.

136 ■ 10 32 -Ю-3) (8 Ю-3)2

Подставив в выражение (3) значения j/ири произведя вычисления, найдем

fci = 6,6%.

Следовательно, давление газа, обусловленное силами притяжения моле-кул, составляет 6,6% давления газа на стенки сосуда.

Пример 2. Углекислый газ, содержащий количество вещества v = = 1 моль, находится в критическом состоянии. При изобарном нагрева¬нии газа его объем V увеличился в к = 2 раза. Определить изменение ДГ температуры газа, если его критическая температура Гкр = 304 К.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться уравне¬нием Ван-дер-Ваальса в приведенной форме, т. е. в такой форме, когда давление р, молярный- объем Vm и температура Г реального газа с соот-ветствующими критическими параметрами представлены в виде следу-ющих отношений:

Vr,

и> =

т =

7Г =

т

Р Ркр'

Из этих равенств получим:

; Т = тГкр.

Р = тфкР; Vm =

.

190

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика

.