§ 11. Физические основы термодинамики

Подставив числовые значения и произведя вычисления, получим

250-Ю»-10-' Па-Мз

=

1-8,31 моль ■ Дж/(моль ■ К)

Количество теплоты, полученное газом при изотермическом пропессе, равно

где V\ — объем, занимаемый газом при температуре Т2 и давлении pi (точка 3 на графике).

На участке 3-1 газ отдает количество теплоты Q2, равное Qi = Qs-i = Cpv{T2 - ГО,

где Ср — молярная теплоемкость газа при изобарном процессе. Подставим найденные значения Qi и Q2 в формулу (7):

^р(г2-го

vCv(Т2 - ГО + vRT2 In {V2/Vi)'

В полученном выражении заменим отношение объемов V2/V\, согласно закону Гей-Люссака, отношением температур {V2/Vi = T2JT{) и вы¬разим Cv и Ср через число степеней свободы молекулы [Cv = iR/2, Ср = (i + 2)R/2]. Тогда после сокращения на v и R/2 получим

. (Г + 2)(Г2-Г0

4 = 1-

= 0,041 = 4,1%.

Подставив значения Г, Гь Г2 и R и произведя вычисления, найдем (5 + 2)(400-300)

5(400 - 300) + 2 ■ 400 In (400/300)

Пример 6. В цилиндре под поршнем находится водород массой m = 0,02 кг при температуре 7\ = 300 К. Водород начал расширяться адиабатно, увеличив свой о&ьем в пять раз, а затем был сжат изотерми-чески, причем объем газа уменьшился в пять раз. Найти температуру Т2 в конце адиабатного расширения и работу А, совершенную газом. Изобразить процесс графически.

Решение. Температуры и объемы газа, совершающего адиабатный процесс, связаны между собой соотношением

Г,=

PiVi vR

Гх

174

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика

§ 11. Физические основы термодинамики

175

где 7 — показатель адиабаты (для водорода как двухатомного газа 7 = = 1,4). Отсюда получаем выражение для конечной температуры Т2:

7-1

T

i T I

2-Jl -

Подставляя числовые значения заданных величин, находим

ml,4-l

Г2 = 300 I - ) К = 300 ■ 0,525 К = 158 К. Работа А\ газа при адиабатном расширении определяется по формуле

Подставив сюда числовые значения величин, после вычисления по-лучим

0,02 5

— ^■8,31(300-158)

кг • Дж/(моль • К) ■ К

2 ■ Ю-3 2

кг/моль

= 29,5 ■ 103 Дж = 29,5 кДж.

Работу А2 газа при изотермическом сжатии можно выразить формулой

m

[Y*

Произведя вычисления по этой формуле, найдем А2 = -21 кДж.

0 V,

V2

Знак минус показывает, что при сжатии газа работа совершена внешними силами. Общая работа, совершенная газом при рассмотренных процессах,

Рис. 11.3

А = Ai+A2 = 29,8 кДж+(-21 кДж) = 8,8 кДж. График процесса приведен на рис. 11.3.

Пример 7. Нагреватель тепловой машины, работающей по обра-тимому циклу Карно, имеет температуру ti = 200 °С. Определить тем-пературу Т2 охладителя, если при получении от нагревателя количества теплоты Qi = 1 Дж машина совершает работу А = 0,4 Дж? Потери на трение и теплоотдачу не учитывать.

Решение. Температуру охладителя найдем, использовав выраже¬ние для термического к.п.д. машины, работающей по циклу Карно, т}=(Т1- Т2)/Тх. Отсюда

Г2=2Н1-»7). (8)

Термический к.п.д. тепловой машины выражает отношение количе¬ства теплоты, которое превращено в механическую работу А, к количе¬ству теплоты Qi, которое получено рабочим телом тепловой машины из внешней среды (от нагревателя), т.е. т] = A/Q\. Подставив это выра¬жение в формулу (8), найдем

Г2=Т1 1--^ . (9)

Учтя, что 7\ = 473 К, после вычисления по формуле (9) получим

Т2 = 284 К.

Пример 8. Найти изменение AS энтропии при нагревании воды массой та — 100 г от температуры t\ = 0°С до температуры t2 — 100 °С и последующем превращении воды в пар той же температуры.

Решение. Найдем отдельно изменение энтропии AS' при нагрева¬нии воды и изменение энтропии AS" при превращении ее в пар. Полное изменение энтропии выразится суммой AS' и AS".

Как известно, изменение энтропии выражается общей формулой

(10)

При бесконечно малом изменении dT температуры нагреваемого тела затрачивается количество теплоты AQ = mcdT, где тп — масса тела; с — его удельная теплоемкость. Подставив выражение dQ в равенство (10), найдем формулу для вычисления изменения энтропии при нагревании воды:

AS'= j т,

ш>

Вынесем за знак интеграла постоянные величины и произведем ин-тегрирование, тогда получим

AS' = me In После вычислений найдем

AS' = 132 Дж/К.

При вычислении по формуле (10) изменения энтропии во время пре-вращения воды в пар той же температуры постоянная температура Г выносится за знак интеграла. Вычислив интеграл, найдем

176

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика

I