§ 11. Физические основы термодинамики

171

Подставив (4) в (3), найдем

г'2(т2/М2) R 2'

тп\ + m2

Для гелия г"х = 3 (газ одноатомный), Mi = 4 ■ 10~3 кг/моль; для азота i2 = 5 (газ двухатомный), М2 = 28 ■ 10~3 кг/моль.

Вычисление по этой формуле дает следующее значение:

сУ,см = 1,63кДж/(кг-К).

Пример 3. Определить количество теплоты, поглощаемое водоро¬дом массой тп — 0,2 кг при нагревании его от температуры ti = 0°С до температуры t2 — 100 °С при постоянном давлении. Найти также изменение внутренней энергии газа и совершаемую им работу.

Решение. Количество теплоты Q, поглощаемое газом при изобар¬ном нагревании, определяется по формуле

(5)

Q =

Подставив значения Q и Д[/, найдем

А = 83 кДж.

Пример 4. Кислород занимает объем Vi = 1м3 и находится под давлением pi = 200 кПа. Газ нагрели сначала при постоянном давлении до объема V2 = Зм3, а затем при постоянном объ¬еме до давления р2 — 500 кПа. Построить график процесса и найти: 1) изменение Д1У внутренней энергии газа; 2) совершенную им работу А; 3) ко¬личество теплоты Q, переданное газу.

Решение. Построим график процесса (рис. ll.l). На графике точками 1, 2, 3 обозна¬чены состояния газа, характеризуемые параметра¬ми (рь Vi, Гх), (рь V2, Г2), (pa, V2, Г3).

Ух ' Рис. 11.1

I. Изменение внутренней энергии газа при пе-реходе его из состояния 1 в состояние 3 выража¬ется формулой

AU = cvmAT,

где тп — масса нагреваемого газа; ср — его удельная теплоемкость при постоянном давлении; ДГ — изменение температуры газа.

v i + 2R

Как известно, ср — . Подставив это выражение ср в формулу

(5), получим

i + 2R

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

Q = 291 кДж. Внутренняя энергия выражается формулой

77 * m U

следовательно, изменение внутренней энергии

После подстановки в эту формулу числовых значений величин и вы-числений получим

AU = 208 кДж.

Работу расширения газа определим по формуле, выражающей первое начало термодинамики: Q = Д[/ + А, откуда

А = Q - AU.

где cv — удельная теплоемкость газа при постоянном объеме; тп — масса газа; ДГ — разность' температур, соответствующих конечному

i R 3 и начальному 1 состояниям, т. е. ДГ = Гз — Т\. Так как cv = ^тт,

где М — молярная масса газа, то

(6)

Температуры Гх и Гз выразим из уравнения Клапейрона-Менделеева (pV = (т/М)(Д/Г)):

L. т -

Мр2У2 mR

С учетом этого равенство (6) перепишем в виде

i 2

Подставим сюда значения величин (учтем, что для кислорода как двухатомного газа i = 5) и произведем вычисления:

Д(7 = 3,25 МДж.

2. Полная работа, совершаемая газом, равна А = Ах + А2, где А\ — работа на участке 1-2; А2 — работа на участке 2-3.

На участке 1-2 давление постоянно (р = const). Работа в этом случае выражается формулой А\ = pi AV = ^(V^ — Vi). На участке 2-3 объем

172

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика

газа не изменяется и, следовательно, работе газа на этом участке равна нулю (А2 — 0). Таким образом,

Подставив в эту формулу значения физических величин, произведем вычисления:

А = 0,4 МДж.

3. Согласно первому началу термодинамики, количество теплоты Q, переданное газу, равно сумме работы А, совершенной газом, и измене¬нию Д[/ внутренней энергии:

Q = А + Д[/, или Q = 3,65 МДж.

Пример 5. Идеальный двухатомный газ, содержащий количество вещества v = 1 моль, находится под давлением ру = 250 кПа и зани¬мает объем Vi = Юл. Сначала газ изохорно нагревают до температуры Т2 — 400 К. Далее, изотермически расширяя, доводят его до первона¬чального давления. После этого путем изобарного сжатия возвращают газ в начальное состояние. Определить термический к.п.д. ц цикла.

Решение. Для наглядности построим сначала график цикла, кото¬рый состоит из изохоры, изотермы и изобары. В координатах р, V этот

цикл имеет вид, представленный на рис. 11.2. Характерные точки цикла обозначим 1, 2, 3.

Термический к.п.д. любого цикла опреде-ляется выражением

Р2

Ql-Q2

или

4 = 1-5?, (7)

Рис. 11.2

где Qi — количество теплоты, полученное га¬зом за цикл от нагревателя; Q2 — количество *• теплоты, отданное газом за пикл охладителю. Заметим, что разность количеств теплоты Q\ - Qi равна работе А, совершаемой газом за цикл. Эта работа на графике в координатах р, V (рис. 11.2) изображается площадью цикла (площадь цикла заштри¬хована).

Рабочее вещество (газ) получает количество теплоты Q\ на двух участках: Q\-2 на участке 1-2 (изохорный процесс) и Q2-z на участке 2-3 (изотермический пропесс). Таким образом, Qx = Q\-2 + Qi-з- Ко¬личество теплоты, полученное газом при изохорном процессе, равно

Qi-2 = Оу^иг ~ J-i),

где Cv — молярная теплоемкость газа при постоянном объеме; v — ко-личество вещества. Температуру 7\ начального состояния газа найдем, воспользовавшись уравнением Клапейрона-Менделеева:

173