§ 11. Физические основы термодинамики

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

• Связь между молярной (Ст) и удельной (с) теплоемкостями газа

Ст = сМ,

где М — молярная масса газа.

• Молярные теплоемкости9) при постоянном объеме и постоянном

давлении соответственно равны

_ Ж (Г + 2)Д

2 ' ~ 2 '

где i — число степеней свободы; R— молярная газовая постоянная.

9) Здесь и далее в целях упрощения записи в индексах обозначений молярной теплоемкости при постоянном давлении и постоянном объеме букву «тп» будем опускать.

Гл. 2. Молекулярная физика и

су =,!Л. с _ i+2 R

2М' Ср~ 2 И'

Удельные теплоемкости при посхоянном объеме и посхоянном влении соохветственно равны

- cv =

• Уравнение Майера > Показатель адиабахы

167

§ 11. Физические основы термодинамики

• Связь между начальным и конечным значениями параметров со-стояний газа при адиабахном процессе:

V2

T,

Pl

Pi

7\

• Первое начало (закон) хермодинамики:

а) для бесконечно малого изменения сосхояния сисхемы (элеменхар-ного квазисхахического процесса)

7 = —, или 7 = 7Г> или 7 = —т—■

cv Ov г

• Внухренняя энергия идеального газа

U = N{e), или U = vCvT,

где (е) — средняя кинехическая энергия молекулы; N — число молекз газа; v — количество вещесхва.

• Работа, совершаемая газом при изменении его объема, в обще

случае вычисляется по формуле

А =

6Q = dU + 6A10),

где 6Q — бесконечно малое (элеменхарное) количесхво хеплохы. подво-димое к сисхеме; dC7 — бесконечно малое изменение внухренней энергии сисхемы; 6А — бесконечно малая (элеменхарная) рабоха, совершаемая сисхемой прохив внешних сил;

б) для конечного изменения сосхояния сисхемы

Q = Д[/ + А.

• Количесхво хеплоты Q, лодводимое к сисхеме, изменение Д[/ вну-хренней энергии газа и рабоха А, совершаемая газом прохив внешних сил при изопроцессах:

а) изохорном (V = const)

где Vi — начальный объем газа; Ц — его конечный объем. Частные случаи: а) при изобарном процессе (р = const)

Q = ~CV{T2-T1), б) изобарном (р = const)

б) при изотермическом процессе (J1 = const)

1

= 1^,(7^70,

или A=

~

в) изохермическом (Г = const)

в) при адиабатном

процессе

или A=^±2-!!L

где Т\ — начальная температура газа; Гг — его конечная температура. • Уравнение адиабаты (уравнение Пуассона)

pV1 = const.

М

М

10) Такая форма записи подчеркивает, что из трех величин только бесконечно малое изменение df/ внутренней энергии является полным дифференциалом и сама внутренняя энергия U есть функция состояния термодинамической си¬стемы. Количество теплоты Q и работа А функциями состояния системы, в общем случае, не являются. Поэтому элементарные количество теплоты 6Q и ра¬боту 5А нельзя рассматривать как полные дифференциалы. В математической записи это обстоятельство учитывается заменой символа d (дифференциал) на символ S (элементарное бесконечно малое изменение).

168

Гл.2. Молекулярная физика и термодинамика

§11. Физические основы термодинамики

169

1-77-

г) адиабатном (5 = const при обратимом процессе)

тп

тп

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Вычислить удельные теплоемкости неона и водорода при постоянных объеме (cv) и давлении (ср), принимая эти газы за идеальные.

Решение. Удельные теплоемкости идеальных газов выражаются формулами

где Ti и Fi — начальные температура газа и его объем; Т2 и V2 — конечные температура газа и его объем; Cv — молярная теплоемкость газа; 7 — показатель адиабаты. • Энтальпия и ее изменение

6-$ и SB-SA>

где SA n SB — энтропии начального и конечного состояний системы.

• Термический коэффициент полезного действия (к.п.д.) цикла в общем случае

Q1-Q2 п=~~п—'

41

где Q\ — количество теплоты, полученное рабочим телом (газом) от на-гревателя; Q2 — количество теплоты, переданное рабочим телом охла-дителю.

К.п.д. цикла Карно

Я = U + pV, ДЯ = AU

ДЯ = Д[/ +

• Изменение энтропии:

а) при обратимых процессах

б) при необратимых процессах

= Q (при р - const); (при V = const).

-SA = J -£-;

A

J т'

i_ R

2M;

i+2 R

Cp~

Для неона (одноатомный газ) ГХ = 3, Mi = 20 ■ 10~3 кг/моль. Под-ставив в формулы (1) и (2) значения ii, М\ и R и произведя вычисления, найдем

cVl = 624 Дж/(кг • К); сР1 = 1,04 кДж/(кг • К).

Для водорода (двухатомный газ) i2 = 5, М2 = 2 ■ 10~3 кг/моль. Вычисление по формулам (1) и (2) дает следующие значения удельных теплоемкостей водорода:

cV2 = 10,4 кДж/(кг • К); сР2 = 14,6 кДж/(кг ■ К).

Пример 2. Вычислить удельную теплоемкость cV)CM смеси двух газов (гелия массой mi = 6г и азота массой тп2 = Юг) при постоянном объеме.

Решение. Удельная теплоемкость смеси газов определяется отно¬шением теплоемкости Ссм к массе тсм этой смеси:

тпс

(1) (2)

(3)

Теплоемкость вещества есть величина аддитивная, поэтому для двух газов можно написать

mi +m2

ц =

-Q2 Г1-Г2

— ИЛИ Т) = .

где Ci и С2 — теплоемкости газов; тп\ итп2 — их массы.

Теплоемкости газов при постоянном объеме определяются соотноше-ниями

где Т\ — температура нагревателя; Т2 — температура охладителя. • Формула Больцмана

S = klnW,

где 5 — энтропия системы; W — статистический вес или термодина-мическая вероятность состояния системы; к — постоянная Больцмана.

TOl '*

(4)

m2i2

где Mi и М2 — молярные массы газов; i\ и г2 — числа степеней свободы и R — молярная газовая постоянная.

170

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика