§ 10. Элементы статистической физики

161

10.21. Зная функцию распределения молекул по скоростям, Оп¬

ределить среднюю арифметическую скорость (v) молекул.

10.22. По функции распределения молекул по скоростям опре¬

делить среднюю квадратичную скорость (vKB).

10.23. Определить, какая из двух средних величин, (1Д>) или

1/(г>), больше, и найти их отношение к.

10.24. Распределение молекул по скоростям в молекулярных

пучках при эффузионном истечении8) отличается от максвеллов-

ского и имеет вид f(v)dv = Cv3 exp (—mv2/{2kT))v3 dv. Опре¬

делить из условия нормировки коэффициент С.

10.25. Зная функцию распределения молекул по скоростям в не-

Ш2

котором молекулярном пучке f(v) — ехр (—mv2/(2kT))v3,

&К Л.

найти выражения для: 1) наиболее вероятной скорости vB; 2) сред¬ней арифметической скорости (v).

10.26. Водород находится при нормальных условиях и зани¬

мает объем V = 1 см3. Определить число N молекул в этом объеме,

обладающих скоростями, меньшими некоторого значения vmax =

= 1 м/с.

10.27. Вывести формулу наиболее вероятного импульса рв мо¬

лекул идеального газа.

10.28. Найти число N молекул идеального газа, имеющих им¬

пульс, значение которого точно равно наиболее вероятному значе¬

нию рв.

10.29. Вывести форм„ iy, определяющую среднее значение ком¬

понента импульса (рх) молекул идеального газа.

10.30. На сколько процентов изменится наиболее вероятное

значение рв импульса молекул идеального газа при изменении тем¬

пературы на один процент?

10.31. Найти выражение для импульса молекул идеального газа,

энергии которых равны наиболее вероятному значению энергии.

Распределение молекул по кинетическим энергиям поступательного движения

10.32. Найти выражение средней кинетической энергии (е) по-

ступательного движения молекул. Функцию распределения моле¬

кул по энергиям считать известной.

10.33. Преобразовать формулу распределения молекул по энер¬

гиям в формулу, выражающую распределение молекул по относи¬

тельным энергиям w [w = £/(Е), где е — кинетическая энергия;

(е) — средняя кинетическая энергия поступательного движения

молекул).

) Эффузионным называется истечение газов через отверстия, малые по срав-нению с длиной свободного пробега молекулы.

10.34. Определить долю w молекул идеального газа, энергии

которых отличаются от средней энергии (е) поступательного дви¬

жения молекул при той же температуре не более чем на 1%.

10.35. Вывести формулу, определяющую долю w молекул, энер¬

гия е которых много меньше кТ. Функцию распределения молекул

по энергиям считать известной.

10.36. Определить долю w молекул, энергия которых заключена

в пределах от ei = 0 до ег = 0,01fcT.

10.37. Число молекул, энергия которых заключена в пределах

от нуля до некоторого значения е, составляет 0,1% от общего числа

молекул. Определить величину е в долях кТ.

10.38. Считая функцию распределения молекул по энергиям из¬

вестной, вывести формулу, определяющую долю w молекул, энер¬

гия е которых много больше энергии теплового движения молекул.

10.39. Число молекул^ энергия которых выше некоторого зна¬

чения ei, составляет 10~4 от общего числа молекул. Определить

величину е\ в долях кТ, считая, что е ~3> ткТ.

Указание. Получающееся трансцендентное уравнение решить гра¬фически.

10.40. Используя функцию распределения молекул по энергиям,

определить наиболее вероятное значение энергии ев.

10.41. Преобразовать функцию /(е) de распределения молекул

по кинетическим энергиям в функцию f{6) d6 распределения моле¬

кул по относительным кинетическим энергиям (где в — е/ев; ев —

наиболее вероятное значение кинетической энергии молекул).

10.42. Найти относительное число w молекул идеального газа,

кинетические энергии которых отличаются от наиболее вероятного

значения ев энергии не более чем на 1%.

10.43. Определить относительное число w молекул идеального

газа, кинетические энергии которых заключены в пределах от

нуля до значения, равного 0,01ев (£в — наиболее вероятное зна¬

чение кинетической энергии молекул).

10.44. Найти выражение для кинетической энергии молекул

идеального газа, импульсы которых имеют наиболее вероятное

значение рв.

10.45. Во сколько раз изменится значение максимума функции

f(e) распределения молекул идеального газа по энергиям, если

температура Т газа увеличится в два раза? Решение пояснить

графиком.

10.46. Определить, во сколько раз средняя кинетическая энер¬

гия (е) поступательного движения молекул идеального газа отли¬

чается от наиболее вероятного значения ев кинетической энергии

поступательного движения при той же температуре.

162

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика

§ 10- Элементы статистической физики

163

Длина свободного пробега и число столкновений молекул

10.47. Найти среднюю длину свободного пробега (/) молекул

водорода при давлении р = 0,1 Па и температуре Т = 100 К.

10.48. При каком давлении р средняя длина свободного пробега

(/) молекул азота равна 1 м, если температура Т газа равна 300 К?

10.49. Баллон вместимостью F = Юл содержит водород мас¬

сой тп = 1 г. Определить среднюю длину свободного пробега (/)

молекул.

10.50. Можно ли считать вакуум с давлением р — ЮОмкПа

высоким, если он создан в колбе диаметром d = 20 см, содержащей

азот при температуре Т = 280 К?

10.51. Определить плотность р разреженного водорода, если

средняя длина свободного пробега (/) молекул равна 1 см.

10.52. Найти среднее число (г) столкновений, испытываемых

в течение t = 1 с молекулой кислорода при нормальных условиях.

10.53. Найти число N всех соударений, которые происходят в

течение t = 1 с между всеми молекулами водорода, занимающего

при нормальных условиях объем V = 1мм3.

10.54. В газоразрядной трубке находится неон при температуре

Т — 300 К и давлении р = 1 Па. Найти число N атомов неона,

ударяющихся за время At = 1 с о катод, имеющий форму диска

площадью S1 = 1 см2.

10.55. Найти среднюю продолжительность (т) свободного про¬

бега молекул кислорода при температуре Г = 250 К и давлении

р = 100 Па.

10.56. Найти зависимость средней длины свободного пробега

(/) молекул идеального газа от давления р при следующих процес¬

сах: 1) изохорном; 2) изотермическом. Изобразить эти зависимо-

сти на графиках.

10.57. Найти зависимость средней длины свободного пробега

(/) молекул идеального газа от температуры Г при следующих про¬

цессах: 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эти зависимости

на графиках.

10.58. Найти зависимость среднего числа столкновений (г) мо¬

лекулы идеального газа в 1 с от давления р при следующих про¬

цессах: 1) изохорном; 2) изотермическом. Изобразить эти зави¬

симости на графиках.

10.59. Найти зависимость среднего числа столкновений (z) мо¬

лекулы идеального газа в 1 с от температуры Т при следующих

процессах: 1) изохорном; 2) изобарном. Изобразить эти зависи¬

мости на графиках.

Явления переноса: диффузия, вязкость, теплопроводность

10.60. Средняя длина свободного пробега (/) атомов гелия при

нормальных условиях равна 180 нм. Определить коэффициент

диффузии D гелия.

10.61. Коэффициент диффузии D кислорода при температуре

t = 0°C равна 0,19 см2/с. Определить среднюю длину свободного

пробега (I) молекул кислорода.

10.62. Вычислить коэффициент диффузии D азота: 1) при нор-

мальных условиях; 2) при давлении р = 100 Па и температуре

Т-300К.

10.63. Определить, во сколько раз отличается коэффициент диф¬

фузии Di газообразного водорода от коэффициента диффузии D%

газообразного кислорода, если оба газа находятся при одинаковых

условиях.

10.64. Определить зависимость коэффициента диффузии D от

температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изо¬

хорном.

10.65. Определить зависимость коэффициента диффузии D от

давления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изо¬

хорном.

10.66. Вычислить динамическую вязкость т) кислорода при нор¬

мальных условиях.

10.67. Найти среднюю длину свободного пробега (I) молекул

азота при условии, что его динамическая вязкость т] = 17мкПа ■ с.

10.68. Найти динамическую вязкость г] гелия при нормальных

условиях, если коэффициент диффузии D при тех же условиях

равен 1,06-10"4м2/с.

10.69. Определить зависимость динамической вязкости т] от

температуры Т при следующих процессах: 1) изобарном; 2) изо¬

хорном. Изобразить эти зависимости на графиках.

10.70. Определить зависимость динамической вязкости т] от

давления р при следующих процессах: 1) изотермическом; 2) изо¬

хорном. Изобразить эти зависимости на графиках.

10.71. Цилиндр радиусом R^ = 10 см и длиной I = 30 см распо¬

ложен внутри цилиндра радиусом /fe = 10,5 см так, что оси обоих

цилиндров совпадают. Малый цилиндр неподвижен, большой вра¬

щается относительно геометрической оси с частотой п = 15 с"1.

Динамическая вязкость т] газа, в котором находятся цилиндры,

равна 8,5мкПа -с. Определить вращающий момент М, действую¬

щий на поверхность внутреннего цилиндра.

10.72. Два горизонтальных диска радиусами Д = 20 см распо¬

ложены друг над другом так, что оси их совпадают. Расстояние d

между плоскостями дисков равно 0,5 см. Верхний диск неподви¬

жен, нижний вращается относительно геометрической оси с ча¬

стотой п = 10 с"1. Найти вращающий момент М, действующий

164

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика