§ 10. Элементы статистической физики

159

Знак в—» означает, что h.2 < hi и, следовательно, самолет снизился на 28,5 м по сравнению с предполагаемой высотой.

ЗАДАЧИ

Распределение Болъцмана

10~18

10.1. Пылинки, взвешенные в воздухе, имеют массу m —10 г.

Во сколько раз уменьшится их концентрация п при увеличении

высоты на Ah = 10 м? Температура воздуха Т = 300 К.

10.2. Одинаковые частицы массой m = 10~12 г каждая рас¬

пределены в однородном гравитационном поле напряженностью

G = 0,2мкН/кг. Определить отношение ni/пг концентраций ча¬

стиц, находящихся на эквипотенциальных уровнях, отстоящих

друг от друга на Az = 10 м. Температура Т во всех слоях счита¬

ется одинаковой и равной 290 К.

10.3. Масса m каждой из пылинок, взвешенных в воздухе,

равна 1 аг. Отношение концентрации п\ пылинок на высоте h\ =

= 1мк концентрации по их на высоте ho = 0 равно 0,787. Тем¬

пература воздуха Т = 300 К. Найти по этим данным значение по¬

стоянной Авогадро NA-

10.4. Определить силу F, действующую на частицу, находящу¬

юся во внешнем однородном поле силы тяжести, если отношение

п\1п2 концентраций частиц на двух уровнях, отстоящих друг от

друга на Az = 1 м, равно е (е — основание натуральных логариф¬

мов). Температуру Т считать везде одинаковой и равной 300 К.

10.5. На сколько уменьшится атмосферное давление р =100кПа

при подъеме наблюдателя над поверхностью Земли на высоту h =

= 100 м? Считать, что температура Т воздуха равна 290 К и не

изменяется с высотой.

10.6. На какой высоте h над поверхностью Земли атмосфер¬

ное давление вдвое меньше, чем на ее поверхности? Считать, что

температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с высотой.

10.7. Барометр в кабине летящего вертолета показывает давле¬

ние р = 90кПа. На какой высоте h летит вертолет, если на взлет¬

ной площадке барометр показывал давление ро = 100 кПа? Счи¬

тать, что температура Т воздуха равна 290 К и не изменяется с

высотой.

10.8. Найти изменение высоты Ah, соответствующее измене¬

нию давления на Ар = 100 Па, в двух случаях: 1) вблизи поверх¬

ности Земли, где температура 7\ = 290 К, давление р\ = 100 кПа;

2) на некоторой высоте, где температура Тг = 220 К, давление

Р2 = 25кПа.

10.9. Барометр в кабине летящего самолета все время пока¬

зывает одинаковое давление р = 80кПа, благодаря чему летчик

считает высоту h полета неизменной. Однако температура воздуха

изменилась на AT = 1 К. Какую ошибку Ah в определении вы¬соты допустил летчик? Считать, что температура не зависит от высоты и что у поверхности Земли давление ро = Ю0 кПа.

10.10. Ротор центрифуги вращается с угловой скоростью ш. Ис¬

пользуя функцию распределения Больцмана, установить распре¬

деление концентрации п частиц массой т, находящихся в роторе

центрифуги, как функцию расстояния г от оси вращения.

10.11. В центрифуге с ротором радиусом а, равным 0,5 м, при

температуре Т = 300 К находится в газообразном состоянии веще-

ство с относительной молекулярной массой Мг — 103. Определить

отношение па/по концентраций молекул у стенок ротора и в цен¬

тре его, если ротор вращается с частотой п = 30 с"1.

10.12. Ротор центрифуги, заполненный радоном, вращается с

частотой п = 50 с"1. Радиус а ротора равен 0,5 м. Определить

давление р газа на стенки ротора, если в его центре давление ро

равно нормальному атмосферному. Температуру Т по всему объ¬

ему считать одинаковой и равной 300 К.

10.13. В центрифуге находится некоторый газ при температуре

Т = 271 К. Ротор центрифуги радиусом a = 0,4 м вращается с

угловой скоростью w — 500 рад/с. Определить относительную мо¬

лекулярную массу Мт газа, если давление р у стенки ротора в 2,1

раза больше давления ро в ег0 центре.

10.14. Ротор ультрацентрифуги радиусом а = 0,2 м заполнен

атомарным хлором при температуре Т = 3000 К. Хлор состоит

из двух изотопов: 37С1 и 35С1. Доля wi атомов изотопа 37С1 соста¬

вляет 0,25. Определить доли w\ и w'2 атомов того и другого изото-

пов вблизи стенок ротора, если ротору сообщить угловую скорость

вращения ш, равную 104 рад/с.

Распределение молекул по скоростям и импульсам

10.15. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вы¬

вести формулу наиболее вероятной скорости г>в.

10.16. Используя функцию распределения молекул по скоро¬

стям, получить функцию, выражающую распределение молекул по

относительным скоростям и (и = v/vB).

10.17. Какова вероятность W того, что данная молекула иде¬

ального газа имеетскорость, отличную от vB/2 не более чем на 1%?

10.18. Найти вероятность W того, что данная молекула иде¬

ального газа имеет скорость, отличную от 2vB не более чем на 1%.

10.19. Зная функцию распределения молекул по скоростям, вы¬

вести формулу, определяющую долю w молекул, скорости v кото¬

рых много меньше наиболее вероятной скорости vB.

10.20. Определить относительное число w молекул идеального

газа, скорости которых заключены в пределах от нуля до одной

сотой наиболее вероятной скорости vB.

160

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика