§ 10. Элементы статистической физики

155

Интегрируя это выражение по и в пределах от 0 до итах, получим

Umax

4N Г 2 4iVuJ

= -r vfdu^-^ —

' 47V

, или AN = г-т=<1ах. (5)

Этот интеграл можно свести к табличному (см. табл. 2)

ОО

I

о

'3 1

хЛ exp (-ax2) dx = -у/жа~ъ/2, положив а = .

2mkT'

Выразив в (5) число молекул N через количество вещества v и по-стоянную Авогадро, найдем расчетную формулу:

В нашем случае это даст

Lx- (6)

Подставим в (6) значения величин i/, ЛГд и произведем вычисления: 4-1,2-6,02- 1023,in_343

AN =

3 ■ 1,77

-(10 ) молекул = 5,44 • 10 молекул.

Цример 3. Зная функцию /(р) распределения молекул по импуль¬сам, определить среднее значение квадрата импульса (р2).

Решение. Среднее значение квадрата импульса (р2) можно опре¬делить по общему правилу вычисления среднего:

3/2

-5/2

3^/ 1 \

После упрощений и сокращений найдем

(р2) = ЗтпкТ.

Пример 4. Средняя длина свободного пробега (I) молекулы углеки¬слого газа при нормальных условиях равна 40 нм. Определить среднюю арифметическую скорость (v) молекул и число z соударений, которые испытывает молекула в 1 с.

Решение. Средняя арифметическая скорость молекул определяется по формуле

(Р2) = ^

//(p)dp о

Функция распределения молекул по импульсам имеет вид

3/2

т-¥

(7)

(8)

где М — молярная масса вещества.

Подставив числовые значения, получим

(v) = 362 м/с.

Среднее число (z) соударений молекулы в 1 с определяется отноше¬нием средней скорости (v) молекулы к средней длине ее свободного про¬бега (I):

Эта функция распределения уже нормирована на единицу, т.е.

оо

/ f(j>) dp = 1- С учетом нормировки формулу (7) перепишем иначе: о

(9)

Подставим выражение /(р) по уравнению (8) в формулу (9) и выне¬сем величины, не зависящие от р, за знак интеграла:

Подставив в эту формулу значения (v) = 362 м/с, (/) = 40 нм = = 4 • 10~8 м, получим

• (z) = 9,05 ■ 109 с"1.

Пример 5. Два тонкостенных коаксиальных цилиндра длиной I = 10 см могут свободно вращаться вокруг их общей оси z. Радиус Я. большого цилиндра равен 5 см. Между цилиндрами имеется зазор размером d = 2 мм. Оба цилиндра находятся в воздухе при нормальных условиях. Внутренний цилиндр приводят во вращение с постоянной ча¬стотой 7ii = 20 с"1. Внешний цилиндр заторможен. Определить, через "акой промежуток времени с момента освобождения внешнего цилиндра он приобретет частоту вращения п2 = 1с"1. При расчетах изменением ю*

156

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика

§ 10. Элементы статистической физики

157

относительной скорости цилиндров пренебречь. Масса m внешнего ци-линдра равна 100 г.

Решение. При вращении внутреннего цилиндра слой воздуха увле-кается им и начинает участвовать во вращательном движении. Вблизи поверхности этого цилиндра слой воздуха приобретает со временем прак¬тически такую же линейную скорость, как и скорость точек на поверх-ности цилиндра, т. е. v = 2irn\{R — d). Так как d <C R, то приближенно можно считать

v к 2тгтД. (10)

Вследствие внутреннего трения момент импульса передается сосед-ним слоям газа и в конечном счете внешнему цилиндру. За интервал времени At внешний цилиндр приобретает момент импульса L = pR, где р — импульс, полученный за At внешним цилиндром. Отсюда

L

Р =

R'

(И)

С другой стороны,

dv

(12)

где г) — динамическая вязкость; градиент скорости; S — площадь

поверхности цилиндра (S =

Приравняв правые части выражений (11) и (12) и выразив из полу-ченного равенства искомый интервал At, получим

Динамическая вязкость воздуха TJ = 17,2 мкПа ■ с = 1,72 -10 5 Па • с (см. табл. 14).

Подставив в (14) значения входящих в нее величин и произведя вы-числения, получим

с = 18,5 с.

100 ■ 10~3 • 2 ■ 10~3 • 1

2 ■ 3,14 • 1,72 ■ 10-5 • 5 ■ 10-2 ■ 10 • 10~2 ■ 20

Пример 6. Барометр в кабине летящего самолета все время пока¬зывает одинаковое давление р = 79 кПа, благодаря чему летчик считает высоту h\ полета неизменной. Однако температура воздуха за бортом самолета изменилась с£ = 5°Сдо£ = 1°С. Какую ошибку Ah в опре¬делении высоты допустил летчик? Давление ро у поверхности Земли считать нормальным.

Решение. Для решения задачи воспользуемся барометрической формулой

( Mgh\

р-Ро ехр

RT )'

Барометр может показывать неизменное давление р при различных температурах 7\ и Т2 за бортом только в том случае, если самолет нахо-дится не на высоте h (которую летчик считает неизменной), а на неко¬торой другой высоте h2.

Запишем барометрическую формулу для этих двух случаев:

MghA —J; p

j.

dz

dv

Найдем входящие в эту формулу величины L, — и S. Момент им-

dz

пульса L = Ju>2, где J — момент инерции цилиндра (J = mR2); тп — его масса; и>2 — угловая скорость внешнего цилиндра {ш2 — 2тт2)- С учетом этого запишем

L = mR2 ■ 2im2 = 2v:mR2n2.

dv v v 1радиент скорости — = - = -. Площадь цилиндра равна S =

dz z d = 2жШ.

dv Подставив в (13) выражения L, —, 5, получим

mdn2 T]vl

Заменив здесь v по (10), найдем

(14)

mdn2

Найдем отношение ро/р и обе части полученного равенства пролога-рифмируем:

In—= Р

ро Mgh2 In — =

Р RT2

Из полученных соотношений выразим высоты h2 и h\ и найдем их разность:

\Т2 -

(15)

Mg

Ah = h2 - h\ =

Проверим, дает ли правая часть равенства (15) единицу длины:

[Д][Г] _ [1 ДжДмоль • К)] ■ К = 1 Дж

[М][д] ~ (1 кг/моль) ■ (м/с2) 1 Н М-

Подставим в (15) значения величин (давления в отношении ро/р можно выразить в килопаскалях, это не повлияет на окончательный ре¬зультат) :

8,31 In (101/79),

~ 29 • 10~3 • 9,8 ^ '

158

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика