§ 10. Элементы статистической физики

151

б) число молекул, относительные скорости которых заключены в пре¬делах от и до u + du,

dN(u) = Nf(u) du = -^=Nexp (-V)u2 du,

где u = v/vB — относительная скорость, равная отношению скорости v к наивероятнейшей скорости vB (о скоростях молекулы см. §9); f(u) — функция распределения по относительным скоростям.

• Распределение молекул по импульсам. Число молекул, импульсы которых заключены в пределах от р до р + dp,

где d — эффективный диаметр молекулы (внесистемная единица изме¬рения 1 барн — 10~28 м2).

• Среднее число соударений, испытываемых одной молекулой газа в

единицу времени,

(z) = у/2тгсРп{у), или (z) = y/2on{v).

где d — эффективный диаметр молекулы; п — концентрация молекул; (v) — средняя арифметическая скорость молекул.

• Средняя длина свободного пробега молекул газа

exp [-

А, = Nf{p)dp = ^

где f(p) — функция распределения по импульсам.

3/2

2 / 1 \

• Распределение молекул по кинетическим энергиям поступательного движения. Число молекул, энергии которых заключены в интервале от е до е + de,

dN(e) = NJie) de

exp (-_)eV* de,

где f(e) — функция распределения по кинетическим энергиям. • Среднее значение6) физической величины х в общем случае:

Jxf(x)dx {)~ f(x)dx '

и в случае, если функция распределения нормирована на единицу:

\flon

... 1

для оценок (I) ~ —. on

• Импульс (количество движения), переносимый молекулами из од¬ного слоя газа в другой через элемент поверхности,

dp = T)—ASdt, dz

dv

где т] — динамическая вязкость газа; градиент (поперечный) ско¬

рости течения его слоев; AS — площадь элемента поверхности; di —

время переноса.

Динамическая вязкость

Т) =

(я) = / xf{x) dx,

где f(x) — функция распределения, а интегрирование ведется по всей совокупности изменений величины х.

Например, среднее значение скорости молекулы (т. е. средняя ариф-

оо

метическая скорость) (v) — J vf(v) dv; средняя квадратичная ско-

о

оо

рость (vKB) = (г)2)1/2, где (v2) = / v2f(v) dv; средняя кинетическая

о

оо

энергия поступательного движения молекулы (е) =/ е/(е) de.

о • Эффективное сечение столкновения молекулы

а =

6) Интегралы для вычисления средних значений приведены в табл. 2.

где р — плотность газа (жидкости); {v) — средняя скорость хаотического движения его молекул; (/) — их средняя длина свободного пробега. • Закон Ньютона

3

где F — сила внутреннего трения между движущимися слоями газа.

• Закон Фурье

■ дд = -A—SAt,

dx

где AQ — количество теплоты, прошедшее посредством теплопровод¬

ности через сечение площадью S за время At; Л — теплопроводность;

dT

-; градиент температуры.

• Теплопроводность (коэффициент теплопроводности) газа

л — - , или л — ,

о о

152

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика

§ 10 Элементы статистической физики

153

где cv — удельная теплоемкость 7) газа при постоянном объеме; р — плотность газа; (v) — средняя арифметическая скорость его молекулы; (/) — средняя длина свободного пробега молекул. • Закон Фика

ax

где Ami — масса г-й компоненты газа, перенесенная в результате диф¬фузии через поверхность площадью S, перпендикулярную оси Ох, за

A doj

время At; градиент парциальной плотности г-й компоненты.

ах • Коэффициент диффузии

D-

Коэффициент диффузии D измеряется в м2/с (Ь2/т). Параметры L и т можно рассматривать как некоторые характерные для диффузии величины: L — расстояние, на которое успевает распространиться диф-фундирующее в среде вещество, т — характерное время «выравнива¬ния» концентраций диффундирующего вещества. Тогда для оценок этих величин можно пользоваться приближенным соотношением

D

т —

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Пылинки массой m = 10~18г взвешены в воздухе. Определить толщину слоя воздуха, в пределах которого концентрация пылинок различается не более чем на 1%. Температура Т воздуха во всем объеме одинакова и равна 300 К.

Решение. При равновесном распределении пылинок концентра¬ция их зависит только от координаты z по оси, направленной верти¬кально. В этом случае к распределению пылинок можно применить фор¬мулу Больцмана

Дифференцируя выражение (2) по z, получим

mg dn = n

Так как по ехр {-mgz/(kT)) — п, то

, rng

dn = -—ndz.

Отсюда находим интересующее нас изменение координаты:

кТАп

dz = .

mg n

Знак минус показывает, что положительным изменениям координаты (dz > 0) соответствует уменьшение относительной концентрации (dn < < 0). Знак минус опустим (в данном случае он несуществен) и заменим дифференциалы dz и dn конечными приращениями Az и An:

кТ An

Az= .

mg n

Подставим в эту формулу значения величин Ап/п = 0,01, к = - 1,38-Ю-23 Дж/К, Т = 300 К, m = 10~21 кг, g = 9,81 м/с2 и, произведя вычисления, найдем

Az - 4,23 мм.

Как видно из полученного результата, концентрация даже таких ма-леньких пылинок (т = 10~18г) очень быстро изменяется с высотой.

Пример 2. В сосуде содержится газ, количество вещества v кото¬рого равно 1,2 моль. Рассматривая этот газ как идеальный, определить число AN молекул, скорости и которых меньше 0,001 наиболее вероят¬ной скорости vB.

Решение. Для решения задачи удобно воспользоваться распреде-лением молекул по относительным скоростям и (и — v/vB). Число dN(u) молекул, относительные скорости и которых заключены в пределах от и до du, определяется формулой

(1)

n = noexp - —

Так как в однородном поле силы тяжести U = mgz, то

п = п0 ехр i

(2)

/ mgz\ Г"

кТ )

По условию задачи, изменение An концентрации с высотой мало по сравнению с п (Дп/п = 0,01), поэтому без существенной погрешности изменение концентрации An можно заменить дифференциалом dn.

7) См. §11, теплоемкость.

47V

du,

(3)

dN(u) - —j= ехр (-u2 v/тг

где N — полное число молекул.

По условию задачи, максимальная скорость интересующих нас моле-кул итах = 0,001ив, откуда umax = ^max/^в = 0,001. Для таких значений и выражение (3) можно существенно упростить. В самом деле, для и <С 1 имеем ехр (—и2) «1-й2. Пренебрегая значением и2 = (0.001)2 = 10~6 по сравнению с единицей, выражение (3) запишем в виде

4/V

(4)

= ^=u2 du. v/тг

10 3ак.237

154

Гл. 2. Молекулярная физика и термодинамика