§ 7. Волны в упругой среде. Акустика

123

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Поперечная волна распространяется вдоль упругого шнура со скоростью СэВ = 15 м/с. Период Т колебаний точек шнура равен 1,2 с, амплитуда А = 2 см. Определить: 1) длину волны А; 2) фазу <р колебаний, смещение £, скорость £ и ускорение f точки, отстоящей на расстоянии х = 45 м от источника волн в момент t = 4 с; 3) разность фаз А(р колебаний двух точек, лежащих на луче и отстоящих от источника волн на расстояниях х\ = 20 м и x<i = 30 м.

Решение. 1. Длина волны равна расстоянию, которое волна про¬ходит за один период, и может быть найдена из соотношения

А = СзВТ. Подставив значения величин СэВ и Т, получим

А = 18 м. 2. Запишем уравнение волны:

=)■

(1)

= ЛсОБШ ft

где £ — смещение колеблющейся точки; х — расстояние точки от источ¬ника волн; Сэв — скорость распространения волн.

х

Фаза колебаний точки с координатой х в момент времени t опреде¬ляется выражением, стоящим в уравнении волны под знаком косинуса:

йг

или ""

где учтено, что и = 2тг/Т.

Произведя вычисления по последней формуле, получим

<р = 5,24 рад, или ip = 300°.

Смещение точки определим, подставив в уравнение (1) значения ам-плитуды А и фазы <р:

£ = 1 см.

Скорость £ точки находим, взяв первую производную, от смещения по времени:

Ускорение есть первая производная от скорости по времени, поэтому

= —■ = -Аш2 cosw

■ cos tp.

Т2

Произведя вычисления по этой формуле, найдем

| = 27,4 см/с2.

3. Разность фаз А(р колебаний двух точек волны связана с расстоя¬нием Дх между этими точками соотношением

2тг

А<р = — Дх. А

Подставив значения величин A, xi и хг и вычислив, получим А(р = 3,49 рад, или Atp = 200°.

Пример 2. На расстоянии I = 4м от источника плоской волны частотой v = 440 Гц перпендикулярно ее лучу расположена стена. Опре¬делить расстояния от источника волн до точек, в которых будут первые три узла и три пучности стоячей волны, возникшей в результате сложе¬ния бегущей и отраженной от стены волн. Скорость с^в волны считать равной 440 м/с.

Решение. Выберем систему координат так, чтобы ось х была на-правлена вдоль луча бегущей волны и начало О координат совпадало с

Стена

N

Источник плоских волн

Рис. 7.1

точкой, находящейся на.источнике MN плоской волны (рис. 7.1). С уче¬том этого уравнение бегущей волны запишется в виде

d£

х

= A cos (wt — kx).

(2)

Подставив значения величин тг, Л, Т и у» и произведя вычисления, получим

f = 9 см/с.

Поскольку в точку с координатой х волна возвратится, пройдя два¬жды расстояние 1-х, к при отражении от стены, как среды более плот¬ной, изменит фазу на 7г, то уравнение отраженной волны может быть записано в виде

f2 = A cosut -k(x + 2(l- x)) + ж.

124

Гл. 1. Физические основы механики

После очевидных упрощений получим

Ь = -A cos (ujt - k(2l - х)). (3)

Сложив уравнения (2) и (3), найдем уравнение стоячей волны: £ = 6 + Ь = Acos(ut - kx) -Acos [ut - k(2l - x)). Воспользовавшись формулой разности косинусов, найдем

- x)sin{wt - kl).

Так как выражение Asink(l-x) не зависит от времени, то, взятое по модулю, оно может рассматриваться как амплитуда стоячей волны:

Аст = \2Asmk(l ~ х)\.

Зная выражение амплитуды, можем найти координаты узлов и пуч-ностей.

Узлы возникнут в тех точках, где амплитуда стоячей волны равна нулю: \2A sin k(l — х)| =0. Это равенство выполняется для точек, коор-

Стена

Источник плоских волн

(4) (5)

Рис. 7.2 динаты х„ которых удовлетворяют условию

к(1 — х„) = пж (п = 0, 1, 2, Но к = 2тг/А или, так как А = Сэв/^,

Сэв

Подставив это выражение к в (4), получим

2тп/(/ — хп) = откуда координаты узлов

пс3

1v

х„ = I —

125