§ 6. Механические колебания

119

6.52. Тело массой т = 4 кг, закрепленное на горизонтальной

оси, совершало колебания с периодом Т\ = 0,8 с. Когда на эту ось

был насажен диск так, что его ось совпала с осью колебаний тела,

период Тг колебаний стал равным 1,2 с. Радиус R диска равен

20 см, масса его равна массе тела. Найти момент инерции J тела

относительно оси колебаний.

6.53. Ареометр массой тп = 50 г, имеющий трубку диаметром

d = 1 см, плавает в воде. Ареометр немного погрузили в воду и

затем предоставили самому себе, в результате чего он стал совер¬

шать гармонические колебания. Найти период Г этих колебаний.

6.54. В открытую с обоих концов U-образную трубку с площа¬

дью поперечного сечения S = 0,4 см2 быстро вливают ртуть массой

m = 200 г. Определить период Т колебаний ртути в трубке.

6.55. Набухшее бревно, сечение которого постоянно по всей

длине, погрузилось вертикально в воду так, что над водой нахо¬

дится лишь малая (по сравнению с длиной) его часть. Период Т

колебаний бревна равен 5 с. Определить длину I бревна.

Затухающие колебания

6.56. Амплитуда затухающих колебаний маятника за время

t\ = 5 мин уменьшилась в два раза. За какое время £г> считая от

начального момента, амплитуда уменьшится в восемь раз?

6.57. За время t = 8 мин амплитуда затухающих колебаний

маятника уменьшилась в три раза. Определить коэффициент за¬

тухания 6.

6.58. Амплитуда колебаний маятника длиной I = 1 м за время

t = 10 мин уменьшилась в два раза. Определить логарифмический

декремент затухания в.

6.59. Логарифмический декремент колебаний в маятника равен

0,003. Определить число N полных колебаний, которые должен

сделать маятник, чтобы амплитуда уменьшилась в два раза.

6.60. Гиря массой т = 500 г подвешена к спиральной пружине

жесткостью к = 20Н/м и совершает упругие колебания в неко¬

торой среде. Логарифмический декремент затухания в = 0,004.

Определить число N полных колебаний, которые должна совер¬

шить гиря, чтобы амплитуда колебаний уменьшилась в п = 2

раза. За какое время t произойдет это уменьшение?

6.61. Тело массой т = 5 г совершает затухающие колебания.

В течение времени t = 50 с тело потеряло 60% своей энергии.

Определить коэффициент сопротивления Ь.

6.62. Определить период Т затухающих колебаний, если пе¬

риод То собственных колебаний системы равен 1 с и логарифми¬

ческий декремент затухания в = 0,628.

6.63. Найти число N полных колебаний системы, в течение

которых энергия системы уменьшилась в п = 2 раза. Логарифми¬

ческий декремент затухания в = 0,01.

Рис. 6.10

6.64. Тело массой т =«1 кг находится в вязкой среде с коэф¬фициентом сопротивления г = 0,05 кг/с. С помощью двух одина¬ковых пружин жесткостью к = 50Н/м каждое тело удерживается в положении равновесия, пружины при этом не де¬формированы (рис. 6.10). Тело смести¬ли от положения равновесия и отпусти¬ли. Определить: 1) коэффициент зату-хания 6; 2) частоту v колебаний; 3) ло-

гарифмический декремент затухания в; 4) число N колебаний, по прошествии которых амплитуда уменьшится в е раз.

Вынужденные колебания. Резонанс

6.65. Под действием силы тяжести электродвигателя консоль¬

ная балка, на которой он установлен, прогнулась на h = 1 мм. При

какой частоте вращения п якоря электродвигателя может возник¬

нуть опасность резонанса?

6.66. Вагон массой т = 80 т имеет четыре рессоры. Жесткость

к пружин каждой рессоры равна 500 кН/м. При какой скорости v

вагон начнет сильно раскачиваться вследствие толчков на стыках

рельс, если длина I рельса равна 12,8 м?

6.67. Колебательная система совершает затухающие колебания

с частотой v = 1000 Гц. Определить частоту щ собственных коле-

баний, если резонансная частота i/pe3 = 998 Гп.

6.68. Определить, на сколько резонансная частота отличается

от частоты щ = 1 кГц собственных колебаний системы, характе¬

ризуемой коэффициентом затухания 6 = 400 с"1.

6.69. Определить логарифмический декремент затухания в ко¬

лебательной системы, для которой резонанс наблюдается при ча¬

стоте, меньшей собственной частоты щ = 10 кГц на Аи = 2 Гц.

6.70. Период То собственных колебаний пружинного маятника

равен 0,55 с. В вязкой среде период Т того же маятника стал рав¬

ным 0,56 с. Определить резонансную частоту vpe3 колебаний.

6.71. Пружинный маятник (жесткость к пружины равна 10Н/м,

масса т груза равна 100 г) совершает вынужденные колебания в

вязкой среде с коэффициентом сопротивления г = 2 • 10~2 кг/с.

Определить коэффициент затухания 6 и резонансную амплитуду

Арез, если амплитудное значение вынуждающей силы FQ =.10 МН.

6.72. Тело совершает вынужденные колебания в среде с коэф¬

фициентом сопротивления г — 1 г/с. Считая затухание малым,

определить амплитудное значение вынуждающей силы, если ре-

зонансная амплитуда Лрез = 0,5 см и частота VQ собственных ко¬

лебаний равна 10 Гц.

120

Гл. 1. Физические основы механики