§6. Механические колебания

115

6.23. Точка совершает одновременно два гармонических коле¬

бания, происходящих по взаимно перпендикулярным направле¬

ниям и выражаемых уравнениями

X = А\ COSLOt И у = A2COSU}(t + т),

где А\ = 4 см, ^2 = 8 см, ш = тгс"1, т = 1 с. Найти уравнение траектории точки и построить график ее движения.

6.24. Точка совершает одновременно два гармонических коле¬

бания одинаковой частоты, происходящих по взаимно перпенди¬

кулярным направлениям и выражаемых уравнениями:

1) х = Acosut и у = Acoswt;

2) х = A coswt и у — А\ cosojt;

3) х = Acoswt и у,— Acos(wt + <pi);

4) х — Ai coswt и у = Acos (ut + да);

5) x — A\ cos Lot и у — A\ smut;

6) x = A cos wi и у = Ai sinwi;

7) x = Ai sinwi и у = Ai sinwt;

8) x = ^sinwf и у — Asin(ojt + да).

Найти (для восьми случаев) уравнение траектории точки, постро¬ить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: А = 2 см, Ai = 3 см, Ai = 1 см; да = тг/2, да = т.

6.25. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди¬

кулярных колебаниях, г тражаемых уравнениями х = А\ cosojt и

У = A2Smwt, где А\ — 2см, Ai = 1см. Найти уравнение траек¬

тории точки и построить ее, указав направление движения.

6.26. Точка одновременно совершает два гармонических коле¬

бания, происходящих по взаимно перпендикулярным направле¬

ниям и выражаемых уравнениями х = Aisinwt и у = A2cosojt,

где Ai = 0,5 см; А2 = 2 см. Найти уравнение траектории точки и

построить ее, указав направление движения.

6.27. Движение точки задано уравнениями х — А\ smut ну —

— A2sinoj{t + T), где Ах = 10см, А% = 5см, ш — 2с"1, т = тг/4с.

Найти уравнение траектории и скорости точки в момент времени

* = 0,5с.

6.28. Материальная точка участвует одновременно в двух вза¬

имно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями

х = Ai cosojt и у — —A2cos2ut, где А\ — 2см, Ач. = 1см. Найти

уравнение тректории и построить ее.

6.29. Точка участвует одновременно в двух гармонических ко¬

лебаниях, происходящих по взаимно перпендикулярным напра¬

влениям и описываемых уравнениями:

1) х = Asinojt и у = Acos2wt;

2) х = Acoswt и у = Asm2wt;

3) х = A cos 2ut и у = А\ cos w£;

4) х — А\ sin ojt и у — A cos wt.

Найти уравнение траектории точки, построить ее с соблюдением масштаба и указать направление движения. Принять: А = 2 см; Ai = 3 см.

6.30. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпенди¬

кулярных колебаниях, выражаемых уравнениями х = Aicosut

и у — j42sm0,5wi, где Ai = 2 см, А2 = Зсм. Найти уравнение

траектории точки и построить ее, указав направление движения.

6.31. Смещение светящейся точки на экране осциллографа явля¬

ется результатом сложения двух взаимно перпендикулярных коле¬

баний, которые описываются уравнениями:

1) х = Asin3ojt и у = Asin2wt;

2) х = A sin 3ojt и у = A cos 2ut;

3) х = .Asin3wi и у = Acoswt.

Применяя графический метод сложения и соблюдая масштаб, по¬строить траекторию светящейся точки на экране. Принять А = 4 см.

Динамика гармонических колебаний. Маятники

6.32. Материальная точка массой т = 50 г совершает колеба-

ния, уравнение которых имеет вид х = Acoswt, где А — 10 см,

и = 5с"1. Найти силу F, действующую на точку, в двух случаях:

1) в момент, когда фаза ojt = 7г/3; 2) в положении наибольшего

смещения точки.

6.33. Колебания материальной точки массой т = 0,1 г проис-

ходят согласно уравнению х = A cos ojt, где А = 5 см; и = 20 с~ .

Определить максимальные значения возвращающей силы Fmax и

кинетической энергии Ттах.

6.34. Найти возвращающую силу F в момент t = 1 с и пол¬

ную энергию Е материальной точки, совершающей колебания по

закону х = Acoswt, где А = 20см; ш = 27Г/ЗС"1. Масса т мате¬

риальной точки равна Юг.

6.35. Колебания материальной точки происходят согласно урав¬

нению х = Acosojt, где А = 8 см, w = тг/бс"1. В момент, когда

возвращающая сила F в первый раз достигла значения —5мН,

потенциальная энергия П точки стала равной ЮОмкДж. Найти

этот момент времени t и соответствующую ему фазу ojt.

6.36. Грузик массой т = 250 г, подвешенный к пружине, коле¬

блется по вертикали с периодом Т = 1 с. Определить жесткость к

пружины.

6.37. К спиральной пружине подвесили грузик, в результате

чего пружина растянулась на х = 9 см. Каков будет период Т

колебаний грузика, если его немного оттянуть вниз и затем отпу¬

стить?

9*

116

Гл. 1. Физические основы механики