§6. Механические колебания

109

Подставив значения величин mi, тг, тп, I и произведя вычислена найдем

1С = 5,55 см.

Произведя расчеты по формуле (5), получим период колебаний физи кого маятника:

ческого маятника:

Подставив выражения J\ и J% в формулу (8), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения:

J = -mil2 + -mil* = -тх/2. Расстояние lc от оси маятника до его центра масс равно

3mi + mi

4mi

3

/

16

ИЛИ l(j — /.

16

Пример 4. Физический маятник представляет собой стержень дли ной 1 = 1ми массой 3mi с прикрепленным к одному из его концов обру

3m,

О

If \

1

--Л

чем диаметром d = 1/2 и массой mi. Горизон тальная ось Oz маятника проходит через сере дину стержня перпендикулярно ему (рис. 6.3) Определить период Г колебаний такого маят-ника.

Решение. Период колебаний физической маятника определяется по формуле

(7)

где J — момент инерции маятника относителы оси колебаний; тп — его масса; 1С — расстоя¬ние от центра масс маятника до оси колебаний. Момент инерции маятника равен сумме мо-ментов инерции стержня Ji и обруча J2:

Подставив в формулу (7) выражения J, lc и массы маятника (m = = 3mi + mi = 4mi), найдем период его колебаний:

/ (7/8W /7/

После вычисления по этой формуле получим

Г = 2,17 с.

Пример 5. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями xi = А\ cosw(t + Ti); Х2 — A2Cosoj(t + T2), где Ai — 1см, Аг = 2 см, т\ — 1/6 с, т2 = 1/2 с, ш = тгс"1. 1. Опре¬делить начальные фазы ц>\ и ц>2 составляющих колебаний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу ц> результирующего колебания. Напи¬сать уравнение результирующего колебания.

Решение. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид

(9)

х = Acos(wt + ip).

J2.

(8)

Рис. 6.3

Момент инерции стержня относительно оси,

перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, опреде-ляется по формуле Ji = ml2/12. В данном случае тп = 3mi и

, _ mil2

Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду:

(10)

— Ai COS

= A2 COS (wt + ШТ2).

Из сравнения выражений (10) с равенством (9) находим начальные фазы первого и второго колебаний:

— — рад.

Момент инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штей-нера: J = Jo + тпа2, где J — момент инерции относительно произ-вольной оси; Jo — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; о — расстояние между указан¬ными осями. Применив эту формулу к обручу, получим

З

<pi = LJTI = — рад и

2. Для определения амплитуды А результирующего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6.4. Со-гласно теореме косинусов, получим

(И)

А = у/А\ +А%+ 2АгА2 cos A(p,

по

Гл. 1. Физические основы механики

§ 6. Механические колебания

111

где До5 — разность фаз составляющих колебаний. Так как До5 = О52—О5Ь то, подставляя найденные значения <р2 и <рг, получим Д05 = тг/3 рад.

Подставим значения А\, А2 и До5 в формулу (11) и произведем вычисления:

А = 2,65 см.

Тангенс начальной фазы 05 результирующего колебания определим непосредственно из рис. 6.4:

tgos = фаза

А\ sin щ + Аъ sin ip2

, откуда начальная

Ai cos ц>\ + А2 cos О52

= arctg

А\ sin 09i + A-z sin 052

Ay COS O5j + Ai COS O52

Подставим значения А\, Л2, О5Ь V2 и произведем

Рис. 6.4

вычисления:

= arctg

= 70,9° = 0,394тг рад.

Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то ре-зультирующее колебание будет иметь ту же частоту и. Это позволяет на-писать уравнение результирующего колебания" в виде х = A cos (wt + 05), где А = 2,65 см, ш = тгс"1, 05 = 0,394тград.

Пример 6. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения ко-торых

х = Ах cosut, (12)

(13)

= А2 cos -t,

Для построения траектории найдем по уравнению (14) значения у, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию |а;| ^ 1 см, и составим таблицу:

X, СМ -1 -0,75 -0,5 0 +0,5 +1

У, см 0 ±0,707 ±1 ±1,41 ±1,73 ±2

У, см'

В

Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плос¬кость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колеба¬ния в соответствии с уравнениями движе¬ния (12) и (13) (рис. 6.5).

D

Рис. 6.5

Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как изменяется ее положение с течением вре¬мени. В начальный момент t = 0 коор¬динаты точки равны х(0) = 1 см и у(0) = = 2 см. В последующий момент времени, например при fi = 1с, координаты то¬чек изменятся и станут равными а;(1) = = —1см, 2/(1) = 0. Зная положения точек в начальный и последующий (близкий) мо¬менты времени, можно указать направле¬ние движения точки по траектории. На рис. 6.5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к началу координат). После того как в момент 4 = 2с колеблющаяся точка достигнет точки D, она будет двигаться в обратном направлении.

где Ai = 1 см, А = 2 см, ш = тг с *. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки.

Решение. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время t из заданных уравнений (12) и (13). Для этого воспользуемся

1

формулой cos (а/2) = -^/(1/2)(1 + cosa). В данном случае a = wt, по¬

этому

у = А2 cos —t =

1 +

Так как согласно формуле (12) coswt = x/Ai, то уравнение траектории

(14)

Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (12) и (13) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от — 1 до +1 см по оси Ох и от -2 до +2 см по оси Оу.

ЗАДАЧИ

Кинематика гармонических колебаний

6.1. Уравнение колебаний точки имеет вид х — Acosu)(t + т),

где ш — 7ГС"1, т = 0,2 с. Определить период Т и начальную фазу tp колебаний.

6.2. Определить период Т, частоту v и начальную фазу (р коле¬

баний, заданных уравнением х — Asmi^{t + т), где w = 2,5тгс~1,

г = 0,4 с.

6.3. Точка соверпйет колебания по закону х = A cos (ut + ф),

где А = 4 см. Определить начальную фазу <р, если: 1) х(0) = 2 см

и х{0) < 0; 2) х{0) = -2\/2см и ±(0) < 0; 3) х(0) = 2 см и

i(0) > 0; 4) х(0) = —2\/Зсм и х(0) > 0. Построить векторную диаграмму для момента t = 0.

6.4. Точка совершает колебания по закону х = Asin(u;t + <р),

где А = 4 см. Определить начальную фазу (р, если: 1) х(0) = 2 см

114

Гл. 1. Физические основы механики