§ 6. Механические колебания

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ Уравнение гармонических колебаний

х =

где х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия; t — время; A, LJ, Ц> — соответственно амплитуда, циклическая частота, на¬чальная фаза колебаний; {tot + ф) — фаза колебаний в момент t. • Циклическая частота колебаний

2тг —,

2тг и = 2тп/, или LJ = —

где v и Т — частота и период колебаний.

• Скорость точки, совершающей гармонические колебания,

v = х = —Aw sin (ujt + ф).

• Ускорение при гармоническом колебании

а = х = —Аи2 cos {wt + (р).

Гл. 1. Физические основы механики

Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложе-;вух колебаний с одинаковыми частотами imnmv^—

,А уоаулыирующего колебания, полученного при сложе¬нии двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле

А2 -А\+А\ + 2АХА2 cos fa - >

где Ai и А2 — амплитуды составляющих колебаний; ц>\ и <р2 — их начальные фазы.

• Начальная фаза ц> результирующего колебания может быть найдена

из формулы

А\ sin ifii +■ А2 sin ц>2 Ai cos ц>\ + А2 cos <p2

• Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, про¬

исходящих по одной прямой с различными, но близкими по значению

частотами v\ viv2,

v = v\ - v2.

• Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпен¬

дикулярных колебаниях одинаковой частоты с амплитудами А\ и А2 и

начальными фазами ip\ и ip2,

- ipi) = sin2 fa - <pi).

Если начальные фазы <fi и <р2 составляющих колебаний одинаковы, то уравнение траектории принимает вид

А2 А2

у=—х или у =-—х,

т. е. точка движется по прямой.

В том случае, если разность фаз Ду> = <р2 — y>i = тг/2, уравнение принимает вид

х2 vl

i --2

т. е. точка движется по эллипсу.

• Дифференциальное уравнение гармонических колебаний матери¬

альной точки ... 9

тпх = — кх, или а; + их = О, где та — масса точки; к — коэффициент квазиупругой силы (к = тпш2).

2 2 "

• Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружинный ятник),

ма-

• Полная энергия материальной точки, совершающей гармонические

колебания, ^ mA2(j2

103

§6. Механические колебания

Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в которых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в сравнении с массой тела).

Период колебаний математического маятника

где I — длина маятника; д — ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника

Т =

где J — момент инерции колеблющегося тела относительно оси коле¬баний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний; L = = JKma) — приведенная длина физического маятника.

Приведенные формулы являются точными в случае линейного при-ближения, верного, как правило, для малых амплитуд. При отклонениях от положенияравновесия не более и 3° ошибка в значении периода не превышает 1%.

Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити,

Т =

где J — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; к — жесткость упругой нити, равная отношению упругого мо¬мента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается.

• Дифференциальное уравнение затухающих колебаний

= 0,

тпх = —кх — гх, или х + 26х

где г — коэффициент сопротивления; 6 — коэффициент затухания: S = r/(2m); u>o — собственная циклическая частота колебаний14) (и>о = = у/к/тп).

• Уравнение затухающих колебаний

х = A(i)cos(ujt + <p),

где A(t) — амплитуда затухающих колебаний в момент t; LJ — их ци¬клическая частота.

• Циклическая частота затухающих колебаний

UJ =

где тп — масса тела; к — жесткость пружины.

) В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто LJ (без индекса 0).

104

Гл. 1. Физические основы механики