§ 5. Релятивистская механика

95

В АТ-системе те же величины окажутся равными (рис. 5.26) соответ¬ственно

Выполнив относительно /3 преобразования, найдем скорость частицы, выраженную в долях скорости света (/3 = v/cy.

■%■ <3>

Заметим, что при переходе от системы К' к К размеры стержня в на-правлении оси у не изменятся, а в направлении оси а; претерпят реля-тивистское (лоренцево) сокращение, т. е.

(4)

Ау = Ау', Да; = Дж'y/l - 02.

С учетом последних соотношений собственная длина стержня выра¬зится равенством

(5)

где Ео — энергия покоя электрона (см. табл. 22).

Вычисления по этой формуле можно производить в любых единицах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сокра¬тятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число.

Подставив числовые значения Ео и Т в мегаэлектрон-вольтах, полу¬чим

/3 = 0,941.

или

lo=

- (32(Ау)2

Так как v = 0с, то

v = 2,82 • 108 м/с.

Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинетическую энергию частицы с ее энергией покоя.

Если Т/Ео 4С 1, частицу можно считать классической. В этом случае релятивистская формула (5) переходит в классическую:

Заменив в этом выражении Ау на I sirup (рис. 5.26), получим

y/l2-(32l2sm2<p2

I

1о =

у/1-02 у/1-02

Подставив значения величин I, 0,<ръ это выражение и произведя вычи-сления, найдем

10 = 15,3 м.

Для определения угла <ро воспользуемся соотношениями (2), (3) и (4): Ау

или

откуда

<Ро =

Подставив значения (р и 0 в это выражение и произведя вычисления, получим

<Ро = 19,1°.

Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1МэВ. Опре¬делить скорость электрона.

Решение. Релятивистская формула кинетической энергии

-г

= Е0

или г; =

Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью v = 0,9с (где с — ско¬рость света в вакууме)^

0

(6)

Решение. Релятивистский импульс

р = тпос-

После вычисления по формуле (6) получим р = 5,6 • 10~22 кг ■ м/с.

В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы опре-деляется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Ео этой частицы, т.е.

Т = Е - Ео.

Так как Е = тс2 и Ео = т^с2, то, учитывая зависимость массы от скорости, получим

Т_ ТПоС* 2

96

Гл. 1. Физические основы механики

§ 5. Релятивистская механика

97

или окончательно

Так как Т = Ео = тпос2, то

= тпос2

(7)

л/(2тос2 р = -^

= mocv3.

Сделав вычисления, найдем

Т = 1,06 • 10"13 Дж.

Во внесистемных единицах энергия покоя электрона тпос2 = 0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (7), получим

Т = 0,66 МэВ.

Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией Т — = тос2 (то — масса покоя частицы) испытывает неупругое столкнове¬ние с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица. Определить: 1) релятивистскую массу тп движущейся частицы; 2) релятивистскую массу тп' и массу по¬коя тп'о составной частипы; 3) ее кинетическую энергию Г'.

Решение. 1. Релятивистскую массу тп движущейся частицы до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии реляти-вистской частицы Т = (тп — тпо)с2. Так как Т = тп0с2, то тп — 2т0.

2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной частицы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохра-няется12): тп + тпо = тп'. где тп + тп0 — суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; тп' — релятивистская масса составной частицы. Так как тп = 2т0, то

тп' - Зт0. Массу покоя тп'о составной частицы найдем из соотношения

(8)

Скорость v' составной частицы (она совпадает со скоростью Vc цен¬тра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохра¬нения импульса р = р', где р — импульс релятивистской частицы до столкновения; р' — импульс составной релятивистской частицы. Выра¬зим р через кинетическую энергию Т:

^

Т)Т

12) Этот закон см., например, в кн.: Савельев И.В. Курс общей физики.—М.: Наука, 1977. Т. I, § 70.

Релятивистский импульс р' = тп'ь'. Учитывая, что тп' = Зто, закон сохранения импульса можно записать в виде тоС\/3 = Зтпог)', откуда

V =

или

Подставив выражения v' и тп' в формулу (8), найдем массу покоя составной частицы:

тп0 =

3. Кинетическую энергию Г' составной релятивистской частицы най¬дем как разность полной энергии тп'с2 и энергии покоя TTI'QC2 составной частицы:

Подставив выражения т' и тпг01 получим

Т' = (Зт0 - ч/бто)^ = (3 - ч/б)тос2 = 0,55тос2.

ЗАДАЧИ

Релятивистское изменение длин и интервалов времени

5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с

точностью А1 = 0,1 мкм. При какой относительной скорости и

двух инерциальных систем отсчета можно было бы обнаружить

релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина Zn

которого равна 1 м?

5.2. Двое часов после синхронизации были помещены в начало

систем координат К и К', движущихся друг относительно друга.

При какой скорости и их относительного движения возможно обна¬

ружить релятивистское замедление хода часов, если собственная

длительность TQ измеряемого промежутка времени составляет 1 с?

Измерение времени производится с точностью Дт = 10 пс.

5.3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, син¬

хронизированные до полета с земными. Скорость VQ спутника со-

ставляет 7,9 км/с. На сколько отстанут часы на спутнике по из¬

мерениям земного наблюдателя по своим часам за время то = 0,5

года?

98

Гл. 1. Физические основы механики