§ 5. Релятивистская механика

ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

В специальной теории относительности рассматриваются только инер-циальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и z, z' сонаправлены, а относительная скорость vo системы координат К' относительно системы К направлена вдоль общей оси хх' (рис. 5.1).

где l0 — длина стержня в системе координат К', относительно которой стержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х1;

• Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня

6*

92

Гл. 1. Физические основы механики

§ 5. Релятивистская механика

93

I — длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью v; с — скорость распространения электромагнит-ного излучения.

• Релятивистское замедление хода часов

At= / А*° ,

\Л- Не)2

где Д*о — интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы К', измеренный по часам этой системы (соб-ственное время движущихся часов); Д* — интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам К

У ©

у системы К.

• Релятивистское сложение скоростей

vo

У1 +Ур

V~ 1+W//C2'

Л)'

х'

О

Рис. 5.1

где v' — относительная скорость (скорость тела относительно системы К'); vo — пе-реносная скорость (скорость системы К' относительно К); v — абсолютная ско¬рость (скорость тела относительно систе¬мы К).

В теории относительности абсолютной скоростью называется ско-рость тела (частицы) в системе координат, условно принятой за непо-движную.

ТПо

ТПо

т—-

• Релятивистская масса

или тп —

где то — масса покоя: /3 — скорость частицы, выраженная в долях скорости света (0 = v/c).

mov

или р =

• Релятивистский импульс

р= rnv =

Полная энергия релятивистской частицы Е - тс2 = тос2 + Т,

где Т — кинетическая энергия частицы; тпос2 = Ео — ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима ^со скоростью света, и классической, если v <£. с.

• Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы

pV = Е2 - Е2.

• Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы

р2с2=Т{Т

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Пример 1. Космический корабль движется со скоростью v = 0,9с по направлению к центру Земли. Какое расстояние I пройдет этот ко¬рабль в системе отсчета, связанной с Землей (АГ-система), за интервал времени Д^о = 1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом корабле (АГ'-система)? Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь.

Решение. Расстояние Z, которое пройдет космический корабль в системе отсчета, связанной с Землей (АГ-система), определим по формуле

(1)

I = vAt,

где At — интервал времени, отсчитанный в /("-системе отсчета. Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитанным в К'-

Подставив выражение

Л

системе, соотношением Дг =

в формулу (1), получим

/ =

После вычислений найдем

I = 6,19 • 108 м.

Пример 2. В лабораторной системе отсчета (АГ-система) движется стержень со скоростью г; = 0,8с. По измерениям, произведенным в К-системе, его длина, Z оказалась равной 10 м, а угол ip, который он составляет с осью х, оказался равным 30°. Определить собственную

©

Ах

Ах'

х'

а

Рис. 5.2

длину 10 стержня в АТ'-системе, связанной со стержнем, и угол ipo, кото¬рый он составляет с осью х' (рис. 5.2).

Решение. Пусть в АГ'-системе стержень лежит в плоскости х'О'у'. Из рис. 5.2а следует, что собственная длина fo стержня и угол у>о> кото¬рый он составляет с осью х', выразятся равенствами

(2)

/о =

94

Гл. 1. Физические основы механики